最大无法表示成px+qy(x>=0,y>=0)的数
2017-06-06 10:47
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有俩个数p,q,且gcd(q,p)(最大公约数)=1,则最大无法表示成px+qy(x>=0,y>=0)的数是pq-q-p(对于n>pq-q-p,都可以表示成px+qy;而pq-q-p,就无法表示成px+qy)。
x>=0,y>=0很重要。 1. 假设可以表示为pq-q-p 那么 px+qy=pq-q-p p(x+1)+q(y+1)=pq 两边同时MOD p 得到: 0+q(y+1)%p=0 因为 gcd(p,q)=1 所以 y+1=kp 同理 x+1=mq 且k,m为正整数 两边同时除以pq (x+1)/q+(y+1)/p=1 k+m=1 y+1=kp x+1=(1-k)q 但是x,y>=0故pq-q-p,就无法表示成px+qy 2. (p-1)(q-1)=pq-p-q+1 对于n>pq-q-p即n>=(q-1)(p-1) gcd(p,q)=1 对于z<min{p,q}存在a,b使得ap+bq=z 不妨设a>0>b,显然a>0 那么如果a>q,取a1=a-q,b1=b+p 那么有a1*p+b1*q=z. 如果a1>q,可以继续以得到 Ap+Bq=z,且0<|A|<q,0<|B|<p pq-p-q=(p-1)q-q=(q-1)p-p 对于n>pq-q-p n=pq-q-p+k*min{p,q}+r r<z<min{p,q} 那么取A,B Ap+Bq=r,且0<|A|<q,0<|B|<p 不妨设A>0 n=pq-q-p+k*min{p,q}+r =(q-1)p-p+k*min{p,q}+Ap+Bq =(A-1)p+(B+q-1)p+k*min{p,q} 其中(A-1),(B+q-1)>=0 那么无论min{p,q}是p还是q,都有 对于n>pq-q-p,都可以表示成px+qy
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