算法作业_25(2017.6.1第十五周)

最长公共子序列与最长公共子串（动态规划问题）

一直不明白最长公共子串和最长公共子序列的区别，上网查了下，最长公共子串（Longest Common Substirng）和最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）的区别为：子串是串的一个连续的部分，子序列则是从不改变序列的顺序，而从序列中去掉任意的元素而获得新的序列；也就是说，子串中字符的位置必须是连续的，子序列则可以不必连续。

分析：对于母串X=<x1,x2,⋯,xm>,
Y=<y1,y2,⋯,yn>，求LCS与最长公共子串。假设
m<n，
对于母串X，我们可以暴力找出2m个子序列，然后依次在母串Y中匹配，算法的时间复杂度会达到指数级O(n∗2m)。显然，暴力求解不太适用于此类问题。

动态规划：假设Z=<z1,z2,⋯,zk>是X与Y的LCS，
我们观察到如果xm=yn，则zk=xm=yn，有Zk−1是Xm−1与Yn−1的LCS；

                      如果xm≠yn则Zk是Xm与Yn−1的LCS，或者是Xm−1与Yn的LCS。

因此，求解LCS的问题则变成递归求解的两个子问题。但是，上述的递归求解的办法中，重复的子问题多，效率低下。改进的办法——用空间换时间，用数组保存中间状态，

方便后面的计算。这就是动态规划（DP)的核心思想。

用二维数组c[i][j]记录串x1x2⋯xi与y1y2⋯yj的LCS长度，则可得到状态转移方程




package Test;

public class Test01 {

public int lcs(String str1,String str2){
int len1 = str1.length();
int len2 = str2.length();
int [][]dp = new int [len1+1][len2+1];
for(int i = 0 ;i <=len1;i++ ){
for(int j = 0;j<=len2;j++){
if (i==0 || j==0) {
dp[i][j] = 0;
}else if (str1.charAt(i-1)==str2.charAt(j-1)) {
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
}else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j] , dp[i][j-1]);
}
}
}
return dp[len1][len2];
}
}


最长公共子串：子串是一种特殊的子序列，因此同样可以用DP来解决

得到转移方程：

c[i,j]=⎧⎩⎨⎪⎪0c[i−1,j−1]+10i=0 or j=0xi=yjxi≠yj

最长公共子串的长度为 max(c[i,j]), i∈{1,⋯,m},j∈{1,⋯,n}

public int lcs2(String str1,String str2){
int len1 = str1.length();
int len2 = str2.length();
int res = 0;
int [][]dp = new int [len1+1][len2+1];
for(int i = 0 ;i <=len1;i++ ){
for(int j = 0;j<=len2;j++){
if (i==0 || j==0) {
dp[i][j] = 0;
}else if (str1.charAt(i-1)==str2.charAt(j-1)) {
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
res = Math.max(dp[i][j], res);
}else {
dp[i][j] = 0;
}
}
}
return res;
}

⎪