剑指offer-面试题32-从1到n整数中1出现的次数
2017-06-04 17:20
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解题思路参考自:http://blog.csdn.net/yi_afly/article/details/52012593
输入一个整数n,求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如输入12,从1到12这些整数中包含1的数字有1,10,11和12,1一共出现了5次。
第一次看到是在《剑指Offer》第2版上,面试题32。leetcode和牛客网上都有这道题。
看了《剑指Offer》上的解法,我觉得不能算好:
这段解释描述有些不清晰,而且没有图,难以理解。
从书中给出的实现上来看,显得有些凌乱。
在这篇博客里,会给出一个我对这道题的解法,包括完整的解题思路,完整代码,时间复杂度分析,以及在leetcode和牛客网上的提交结果。
考虑将n的十进制的每一位单独拿出讨论,每一位的值记为weight。
从1到n,每增加1,weight就会加1,当weight加到9时,再加1又会回到0重新开始。那么weight从0-9的这种周期会出现多少次呢?这取决于n的高位是多少,看图:
以534为例,在从1增长到n的过程中,534的个位从0-9变化了53次,记为round。每一轮变化中,1在个位出现一次,所以一共出现了53次。
再来看weight的值。weight为4,大于0,说明第54轮变化是从0-4,1又出现了1次。我们记1出现的次数为count,所以:
count = round+1 = 53 + 1 = 54
如果此时weight为0(n=530),说明第54轮到0就停止了,那么:
count = round = 53
对于10位来说,其0-9周期的出现次数与个位的统计方式是相同的,见图:
不同点在于:从1到n,每增加10,十位的weight才会增加1,所以,一轮0-9周期内,1会出现10次。即rount*10。
再来看weight的值。
当此时weight为3,大于1,说明第6轮出现了10次1,则:
count = round*10+10 = 5*10+10 = 60
如果此时weight的值等于0(n=504),说明第6轮到0就停止了,所以:
count = round*10+10 = 5*10 = 50
如果此时weight的值等于1(n=514),那么第6轮中1出现了多少次呢?很明显,这与个位数的值有关,个位数为k,第6轮中1就出现了k+1次(0-k)。我们记个位数为former,则:
count = round*10+former +1= 5*10+4 = 55
更高位的计算方式其实与十位是一致的,不再阐述。
将n的各个位分为两类:个位与其它位。
对个位来说:
若个位大于0,1出现的次数为
若个位等于0,1出现的次数为
对其它位来说,记每一位的权值为base,位值为weight,该位之前的数是former,举例如图:
则:
若weight为0,则1出现次数为
若weight为1,则1出现次数为
若weight大于1,则1出现次数为
比如:
534 = (个位1出现次数)+(十位1出现次数)+(百位1出现次数)=(53*1+1)+(5*10+10)+(0*100+100)= 214
530 = (53*1)+(5*10+10)+(0*100+100) = 213
504 = (50*1+1)+(5*10)+(0*100+100) = 201
514 = (51*1+1)+(5*10+4+1)+(0*100+100) = 207
10 = (1*1)+(0*10+0+1) = 2
1. 题目描述
输入一个整数n,求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如输入12,从1到12这些整数中包含1的数字有1,10,11和12,1一共出现了5次。
2. 题目来源
第一次看到是在《剑指Offer》第2版上,面试题32。leetcode和牛客网上都有这道题。
3. 本文的目的
看了《剑指Offer》上的解法,我觉得不能算好:这段解释描述有些不清晰,而且没有图,难以理解。
从书中给出的实现上来看,显得有些凌乱。
在这篇博客里,会给出一个我对这道题的解法,包括完整的解题思路,完整代码,时间复杂度分析,以及在leetcode和牛客网上的提交结果。
4. 解题思路
考虑将n的十进制的每一位单独拿出讨论,每一位的值记为weight。
1) 个位
从1到n,每增加1,weight就会加1,当weight加到9时,再加1又会回到0重新开始。那么weight从0-9的这种周期会出现多少次呢?这取决于n的高位是多少,看图: 以534为例,在从1增长到n的过程中,534的个位从0-9变化了53次,记为round。每一轮变化中,1在个位出现一次,所以一共出现了53次。
再来看weight的值。weight为4,大于0,说明第54轮变化是从0-4,1又出现了1次。我们记1出现的次数为count,所以:
count = round+1 = 53 + 1 = 54
如果此时weight为0(n=530),说明第54轮到0就停止了,那么:
count = round = 53
2) 十位
对于10位来说,其0-9周期的出现次数与个位的统计方式是相同的,见图: 不同点在于:从1到n,每增加10,十位的weight才会增加1,所以,一轮0-9周期内,1会出现10次。即rount*10。
再来看weight的值。
当此时weight为3,大于1,说明第6轮出现了10次1,则:
count = round*10+10 = 5*10+10 = 60
如果此时weight的值等于0(n=504),说明第6轮到0就停止了,所以:
count = round*10+10 = 5*10 = 50
如果此时weight的值等于1(n=514),那么第6轮中1出现了多少次呢?很明显,这与个位数的值有关,个位数为k,第6轮中1就出现了k+1次(0-k)。我们记个位数为former,则:
count = round*10+former +1= 5*10+4 = 55
3) 更高位
更高位的计算方式其实与十位是一致的,不再阐述。
4) 总结
将n的各个位分为两类:个位与其它位。 对个位来说:
若个位大于0,1出现的次数为
round*1+1
若个位等于0,1出现的次数为
round*1
对其它位来说,记每一位的权值为base,位值为weight,该位之前的数是former,举例如图:
则:
若weight为0,则1出现次数为
round*base
若weight为1,则1出现次数为
round*base+former+1
若weight大于1,则1出现次数为
rount*base+base
比如:
534 = (个位1出现次数)+(十位1出现次数)+(百位1出现次数)=(53*1+1)+(5*10+10)+(0*100+100)= 214
530 = (53*1)+(5*10+10)+(0*100+100) = 213
504 = (50*1+1)+(5*10)+(0*100+100) = 201
514 = (51*1+1)+(5*10+4+1)+(0*100+100) = 207
10 = (1*1)+(0*10+0+1) = 2
5. 完整代码
package case32_NumOf1Between1AndN; /** * 题目要求: * * 输入一个整数n,求1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如输入12,从1到12这些整数 中包含1的数字有1,10,11,12,1 一共出现了5次。 * * @author WangSai * */ public class NumOf1Between1AndN { /** * @param args */ public static void main(String[] args) { int n = 999000900; System.out.println("solution1:"); long time1 = System.currentTimeMillis(); int m = getNumOf1From1ToN_solution2(n); long time2 = System.currentTimeMillis(); System.out.println(time2 - time1); System.out.println(m); System.out.println("solution2:"); long time3 = System.currentTimeMillis(); int p = getNumOf1From1ToN_solution1(n); long time4 = System.currentTimeMillis(); System.out.println(time4 - time3); System.out.println(p); } /** * 方法1:从1到n中,统计每个数字中1出现的次数,然后,把所有的次数累加起来。时间复杂度O(nlogn) * * @param n,最后一个数字n * @return 1出现的总次数 */ public static int getNumOf1From1ToN_solution1(int n) { // 异常值检测 if (n < 1) return -1; int sum = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) { sum += getNumOf1Ofn(i); } return sum; } /** * 统计i中1出现的次数 * * @param i,待统计的数字 * @return 1在i中出现的次数 */ private static int getNumOf1Ofn(int i) { int count = 0; while (i > 0) { if (i % 10 == 1) count++; i /= 10; } return count; } /** * 方法2:根据n分为个位和其他位,[round-weight-former],该方法的时间算法复杂度为O(logn) * * @param n * @return */ public static int getNumOf1From1ToN_solution2(int n) { // 异常值检测 if (n < 1) return 0; // 把n分为个位和其他位 int round = n; int count = 0; int base = 1; while (round > 0) { // 取余,获取weight int weight = round % 10; // 获取round round /= 10; // 若weight为0 count += round * base; // 判断weight的值,若等于1,则加上former的值,再加1 if (weight == 1) { count += n % base + 1; } // 若weight>1,则加上base else if (weight > 1) { count += base; } // 基数乘以10,向高位移动一位 base *= 10; } return count; } }
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