二分图最佳完美匹配——KM算法总结

KM 算法

求解二分图最佳完美匹配的算法。

先来看一道例题Hdu 2255。

显然是KM的裸题。假设我们要匹配集合X和Y的点，先给每个点一个顶标Lx和Ly。

为什么要给顶标？

首先顶标是我们限制边的一个条件，我们走过的边一道要满足dst[i][j]==Lx[i]+Ly[j],其次所有顶标的加和就是我们答案，我们肯定希望顶标的加和越大越好，所以Lx的初值给的就是连向Y集合所有边的最大值,那么Ly先给0。

然后我们希望每个人都有一套房子，所以每个人枚举过去，用DFS验证能不能给这个人一套房子，如果能，那太好了，如果不能，我们就要让顶标减小一点点，放宽限制，使一些没房子的人有房子。那么减小多少呢，我们不能减少太多，因为答案要大，但是太小又有可能没有什么效果，所以我们将顶标减小到刚好能多容纳至少一条边，这个值显然就是匹配不成功的边所相差的期望值的最小值（顶标可以看成一种对答案的期望，这个值显然在寻找答案的时候就可以刷出，我们假设它为mi）。还要注意寻找答案时用S数组标记X的集合的节点有没有走过,T数组标记Y。修改顶标时我们这样做：

for (int j=1;j<=n;j++){
if (S[j]) Lx[j]-=mi;
if (T[j]) Ly[j]+=mi;
}

不难发现这样做不会影响到已经匹配好的边，并且至少会放宽一条新边的限制，而且这样使答案减小的幅度也是最小的。

看到现在，这个算法的复杂度也不难知道，最多放宽限制M次，在乘以寻找匹配点find的复杂度。我们可以先认为这是O(n*M)的，M=n^2，所以复杂度为O(n^3)，但是略比这个大。KM还有一种就是用BFS实现，非常强大,但是……我不会QAQ！！！！！！！

在考虑一些特殊的情况，就是题目中给出的图并不能完美匹配，这样我们的程序会被卡死,所以可以加入一些边权为0的新边，如果Y集合的点都不够，我们就要加入新的虚拟节点。这样题目的图在不影响答案的条件下变完美了 >_<。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=405,MAXINT=2147483647;
int dst[maxn][maxn],n1,n2,m,n,Lx[maxn],Ly[maxn],mi,who[maxn],w[maxn];
bool S[maxn],T[maxn];
bool find(int x){
S[x]=1;
for (int i=1;i<=n;i++) if (!T[i]){
int s=Lx[x]+Ly[i]-dst[x][i];
if (!s){T[i]=1;if (!who[i]||find(who[i])){who[i]=x;return 1;}}
else mi=min(mi,s);
}
return 0;
}
void KM(){
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=n;j++) Lx[i]=max(Lx[i],dst[i][j]);
for (int i=1;i<=n;i++){
while (1){
memset(S,0,sizeof(S));memset(T,0,sizeof(T));
mi=MAXINT;
if (find(i)) break;
for (int j=1;j<=n;j++){
if (S[j]) Lx[j]-=mi;
if (T[j]) Ly[j]+=mi;
}
}
}
long long ans=0;
for (int i=1;i<=n;i++) ans+=Lx[i]+Ly[i],w[who[i]]=i;
printf("%lld\n",ans);
for (int i=1;i<=n1;i++) if (dst[i][w[i]]) printf("%d ",w[i]);else printf("0 ");
}
inline int _read(){
int num=0;char ch=getchar();
while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
while (ch>='0'&&ch<='9') num=num*10+ch-48,ch=getchar();
return num;
}
int main(){
freopen("exam.in","r",stdin);
freopen("exam.out","w",stdout);
n1=_read(),n2=_read(),m=_read();n=max(n1,n2);
for (int i=1;i<=m;i++){int x=_read(),y=_read();dst[x][y]=_read();}
KM();
return 0;
}