BZOJ-2440 中山市选2011 完全平方数 二分查找 + 莫比乌斯反演 + 容斥原理

大家都很强， 可与之共勉。

2440: [中山市选2011]完全平方数

Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些

数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而

这丝毫不影响他对其他数的热爱。

这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一

个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了

小X。小X很开心地收下了。

然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

Input

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试

数据的组数。

第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。

Output

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的

第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

Sample Input

4

1

13

100

1234567

Sample Output

1

19

163

2030745

HINT

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9, T ≤ 50

说起来这个题面。。。

按照题面， 1是完全平方数。。。

所以所有的数不是都不行吗？

更正一下。

题设应该为求第k个无平方因子数。

什么是无平方因子数？

即质因数分解之后所有质因数的次数都为1的数。

我们可以把<=n的 所有i^2的倍数的数减掉(i为质数)

算重怎么办？

答案就是n-奇数个质数的平方的倍数的个数+偶数个质数的平方的倍数的个数

考虑莫比乌斯函数， 我们发现每一个质数乘积的符号与莫比乌斯函数的符号恰好吻合！莫比乌斯函数！（容斥原理）

即 ans=Σmu[i]*(n/i^2) （i<=(int) sqrt(n) 显然i如果>sqrt(n)个数肯定为0）

然后二分求解。。。

此处有一个黑膜法， R边界为2 * k， 我也不知道为什么对吧 。

/**************************************************************
Problem: 2440
User: Lazer2001
Language: C++
Result: Accepted
Time:1076 ms
Memory:1308 kb
****************************************************************/

#include <cstdio>

const int MaxN = 50005;

int T, k ;

short isnot[MaxN];
int to, tot, mu[MaxN], prime[MaxN] ;

inline void Liner_Shaker ( )  {
mu[1] = 1;
for ( int i = 2 ; i < MaxN ; ++ i )  {
if ( !isnot[i] )  {
prime[tot ++] = i ;
mu[i] = -1 ;
}
for ( int j = 0 ; i * prime[j] < MaxN ; ++ j )  {
to = prime[j] * i ;
isnot[to] = 1 ;
if ( i % prime[j] )  mu[to] = -mu[i] ;
else break ;
}
}
}

inline int count ( int x )  {
static int ret ;
ret = 0 ;
for ( int i = 1 ; i * i <= x ; ++ i )    ret += x / ( i * i ) * mu[i] ;
return ret ;
}

inline int Binary_search ( int L, int R, int k )  {
static int mid ;
while ( L ^ R )  {
mid = ( L >> 1 ) + ( R >> 1 ) + ( L & R & 1 ) ;
count ( mid ) >= k ? R = mid : L = mid + 1 ;
}
return L ;
}

int main ( )  {
Liner_Shaker ( ) ;
for ( scanf ( "%d", &T ) ; T ; -- T )  {
scanf ( "%d", &k ) ;
printf ( "%d\n", Binary_search ( 1, k << 1, k ) ) ;
}

}