2017年第0届浙江工业大学之江学院程序设计竞赛决赛 D: qwb与神奇的序列 [矩阵]【数学】

题目链接：http://115.231.222.240:8081/JudgeOnline/problem.php?cid=1003&pid=3

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Problem D: qwb与神奇的序列

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Description

qwb又遇到了一道题目：

有一个序列，初始时只有两个数x和y，之后每次操作时，在原序列的任意两个相邻数之间插入这两个数的和，得到新序列。举例说明：

初始：1 2

操作1次：1 3 2

操作2次：1 4 3 5 2

……

请问在操作n次之后，得到的序列的所有数之和是多少？

Input

多组测试数据，处理到文件结束（测试例数量<=50000）。

输入为一行三个整数x，y，n，相邻两个数之间用单个空格隔开。（0 <= x <= 1e10, 0 <= y <= 1e10, 1 < n <= 1e10）。

Output

对于每个测试例，输出一个整数，占一行，即最终序列中所有数之和。

如果和超过1e8，则输出低8位。（前导0不输出，直接理解成%1e8）

Sample Input

1 2 2

Sample Output

15

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先不管x，y的值是什么看看每次x，y对结果贡献多少？

定义（n，m）其中n为x的贡献，m为y的贡献 答案就是n*x+m*y

次数	fac	tot
0	(1,0)(0,1)	(1,1)
1	(1,0)(1,1)(0,1)	(2,2)
2	(1,0)(2,1)(1,1)(1,2)(0,1)	(5,5)
3	(1,0)(3,1)(2,1)(3,2)(1,1)(2,3)(1,2)(1,3)(0,1)	(14,14)

然后推出第3列的递推式

ai=ai−1∗3−1

由此构造矩阵

[ aiai+1]×[ 3101]=[ ai+1ai+2]

附本题代码

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#include <bits/stdc++.h>
typedef long long int LL;
using namespace std;

#define abs(x) (((x)>0)?(x):-(x))

const int N = 3000+10;
const int MOD  = 1e8;

const int M = 2;
struct Matrix {
LL m[M][M];
void clear0(){
for(int i=0;i<M;i++)
for(int j=0;j<M;j++)
m[i][j]=0;
}
void clear1(){
for(int i=0;i<M;i++)
for(int j=0;j<M;j++)
m[i][j]=(i==j);
}
void display(){
for(int i=0;i<M;i++){
for(int j=0;j<M;j++)
printf("%lld ",m[i][j]);
puts("");
}
puts("------");
}
};

Matrix operator * (Matrix &a, Matrix &b){
Matrix c;c.clear0();

for(int k=0;k<M;k++)
for(int i=0;i<M;i++)
for(int j=0;j<M;j++)
c.m[i][j]=(c.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j]+MOD)%MOD;

return c;
}

Matrix operator ^(Matrix &a,LL b){
Matrix c;c.clear1();

while(b){
if(b&1) c=c*a;
b>>=1,a=a*a;
}
return c;
}
Matrix a,b;
LL x,y,n;
void solve(){
a.clear0();b.clear0();
a.m[0][0]=1,a.m[0][1]=-1;

b.m[0][0]=3,b.m[0][1]=0;
b.m[1][0]=1,b.m[1][1]=1;

b=b^(n);
a=a*b;
printf("%lld\n",a.m[0][0]*(x+y)%MOD);
}

int main(){
while(~scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&n))     solve();
return 0;
}