密码学与网络安全笔记整理-伽罗华环

本学期修了有限域的选修课，发现自己的智商不够用了。有限域具体来说是近世代数的内容，我们组要做presentation的内容是在此基础上，有关伽罗华环的定义和一些性质。

1. 伽罗华环的定义

这里我们讨论的伽罗华环都是指有单位元的交换环。伽罗华环的定义是：一个伽罗华环是一个有着单位元1的有限环，并且对于某些质数p所形成的主理想(p1)由一系列零因子和零元0构成。其中p1等于p个单位元1相加得到。

【例子】：

考虑一个环Zps，p是一个质数，s是一个正整数，显然1是Zps的单位元，并且理想(p)是一个包含了零元0和零因子的集合，因此Zps就是一个有着ps个元素的伽罗华环了，由定理我们可以知道(p)为最大理想。

2. 基本概念

有限环：是一个环（不一定有乘法单位元），元素的数量有限的环，每一个有限域都是有限环的特例，每一个有限环的加法群都是一个有限的阿贝尔群（交换群）。

零因子：设b是环中的非零元素，如果ab = 0，则a是左零因子，如果ba = 0，则a是右零因子，统称为零因子。

环的阶：记作|R|，环中元素个数。

零元：加法单位元，记为0。

乘法单位元：环不一定有乘法单位元，如果有，记为1。

主理想：记作(a)，首先理想或者说主理想本质是一个集合，这个集合的性质是{ra | r∈R}，也就是说理想或者主理想其实是环R的一个子集。

**商环：**I为R的一个理想，R/I称为R关于理想I的商环。

环同态：两个环R->R’之间有一种映射关系f，使对于R内的元素a，b满足f(a+b) = f(a) + f(b)以及f(ab) = f(a) f(b)。

环同构：如果上文提到的映射关系f即是满射又是单射（一种恒等的映射关系，一一对应），那么就是属于同构关系，记为符号≃。

环同态基本定理：设f是环R到R’的一个满同态，则f的核Ker(f) = {a∈R | f(a) = 0}是R的理想，并且R/Ker(f) ≃R’

3. 部分引理

由于精力有限，笔者只拿出三个引理，前两个只给出结论，第三个给出笔者理解下的证明。

3.1. 引理1

设R为一个伽罗华环，以及主理想(p1)，p1由质数p个单位元相加得到。那么(p1)是R的最大理想，R/(p1)是一个Fpm（其中m是正整数），并且R的特征是p的指数的形式。

3.2. 引理2

假设R是一个特征为ps的伽罗华环，p是质数，R的单位元为1，零因子或者加上零元的R形成的主理想(p1)即{r1：r属于Zps，那么该主理想是R的子环并且同构于Zps。

3.3. 引理3

假设R是一个特征为ps的伽罗华环，p是质数，R的零因子加上零元0形成了主理想(p)，那么R/(p)同构于Fpm（其中m是正整数），对于主理想pi，0 ≤ i ≤ s有基数p(s−i)m，并且|R| = psm。

【证明】：

根据引理14.2，(p)是R的最大理想，因此R/(p)≃Fpm对于某些正整数m成立；

将R看作加法群，则可以将主理想(pi)， 0≤i≤s看作是R的子群；

考虑以下的映射关系：

R → (pi)/(pi+1)

r |→ pir + (pi+1)

以上映射是满射（因为值域都能找到原像对应），是满同态，Ker是R的一个理想，包括了(p)，由于(p)是R的最大理想，所以(p)是Ker

根据群同态定理：R → (pi)/(pi+1)为满同态且(p)为核，则R/(p)与(pi)/(pi+1)同构;

|R/(p)| = |(p)/(p2)| = …… = |(ps−2)/(ps−1)| = |(ps−1)/(ps)| = |(ps−1)|；

|R/(p)| = pm；

|(pi)| = |(pi)/(pi+1)| |(pi+1)/(pi+2)| …… |(ps−2)/(ps−1)| |(ps−1)|，共有s-i个pm；

|(pi)| = p(s−i)m

当i = 0的时候，p0 = 1，|(p0)|即为R中元素个数，即为R的阶，因此|R| = |(1)| = |(p0)| = psm;

4. 参考文献

1.Zhe-Xian Wan 有限域和伽罗华环讲义[M] 世界图书出版公司 309-316

2.WIKI百科环同态基本定理

3.WIKI百科环同态

4.WIKI百科同构

5.WIKI百科商环

6.WIKI百科理想

7.广州大学数学与信息科学学院 环的定义、子环和商环讲义PPT

8.李锦 伽罗华环上指数和及其在通信中的应用[A] 2014