枚举1--求小于n的最大素数

枚举1--求小于n的最大素数

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2 枚举就是基于已有知识镜像答案猜测的一种问题求解策略
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4 问题：求小于n的最大素数
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6 分析：
7     找不到一个数学公式，使得根据N就可以计算出这个素数
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9     我们思考：
10     N-1是素数么？N-2是素数吗？...
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12     所以我们就是判断N-K是否为素数：
13     N-K是素数的充分必要条件：N-K不能被[2,n-k)中任何一个整除
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15     判断N-K是否为素数的问题可以转化为：
16     求小于N-K的全部素数（求“小于N的最大素数”中的条件是“n不能被[2,n)中任意一个素数整除”，而不是整数）
17     不能被[2,n)中任意一个素数整除的数一定是素数，因为那些整数都是以素数为因子的，
18     所以没必要检测所有整数，检测所有素数就ok了
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20 解决方法：
21     2是素数，记为PRIM 0
22     根据PRIM 0，PRIM 1，...PRIM K，寻找比PRIM K大的最小素数PRIM K+1（这里是根据素数找素数）
23     如果PRIM K+1大于N，则PRIM K是我们需要找的素数，否则继续寻找
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25     枚举：
26         从可能的集合中一一列举各元素
27         根据所知道的知识，给一个猜测的答案
28         比如：2是素数，那2是本问题的解么
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30     枚举算法：
31         对问题可能解集合的每一项：
32             根据问题给定的检验条件判断哪些是成立的
33             使条件成立的即为问题的解
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35     枚举过程：
36         判断猜测答案是否正确
37             2是小于N的最大素数么？
38         进行新的猜测：
39             有两个关键因素要注意：
40                 1. 猜测的结果必须是前面的猜测中没有出现过的。每次猜测的素数一定要比已经找到的素数大
41                 2. 猜测的过程中要及早排除错误的答案。比如：除2之外，只有奇数才可能是素数
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43     枚举过程中需要考虑的问题：
44         1. 给出解空间，建立简介的数学模型
45             可能的情况是什么？
46             模型中变量数尽可能的少（使规模尽量小），他们之间相互独立
47                 求“小于N的最大素数”中的条件是“n不能被[2,n)中任意一个素数整除”
48                 而不是“n不能被[2,n)中任意一个整数整除”
49         2. 减少搜索的空间
50             利用知识缩小模型中各变量的取值范围，避免不必要的计算
51             比如：较少代码中循环体执行的次数
52                 除2之外，只有奇数才可能是素数，{2,2*i+1|1<=i,2*i+1<n}
53         3. 采用合适的搜索顺序
54             搜索空间的遍历顺序要与模型中条件表达式一致
55             例如：对{2,2*i+1|1<=i,2*i+1<n}，按照从小到大的顺序
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58     枚举关键字（枚举核心）：
59         减少规模
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61 */
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63 #include <iostream>
64 using namespace std;
65 int prim[50000];//用来存所有素数
66 int primNum=0;//用来记录 prim数组中已经存入的素数的数量
67 int times=0; //用于记录求解问题的总共判断次数
68 int primLessN(int n);
69 int primLessN_2(int n);
70 bool isPrimMothed(int n); //判断一个数是否为素数
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72 /*
73     方法一：由前往后用素数判断的枚举法：
74     求“小于N的最大素数”中的条件是“n不能被[2,n)中任意一个素数整除”，而不是整数
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76     当n=10 0000时，
77     ans=99991
78     times=4626 4478次
79     primNum=9592
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81     我每一个素数被判断出来，都要遍历一下之前的素数表
82     而判断10 0000的时候，外层循环走了50000，里层每一个素数就是一次之前素数表的遍历
83     50000*（1+2+3+...+9592)=50000* 4600 8082
84     前面那个数没有50000，还要减去那些非素数
85     从 50000* 4600 8082可以看出，主要是之前那些素数花的时间，非素数几乎没花时间
86     非素数= 4626 4478-4600 8082= 25 6450
87     只有25万，虽然还是要比下面多很多，因为是从前往后比较的
88 */
89 int primLessN(int n)
90 {
91     prim[0]=2; //2是最小的素数
92     primNum++;
93     for(int i=3;i<n;i+=2){
94         bool isPrim=1; //isPrim用来判断一个数是否为素数
95         for(int j=0;j<primNum;j++){
96             times++;
97             if(i%prim[j]==0){
98                 isPrim=0;
99                 break;  //没加break之前， 当n=10 0000时，times=2 5239 6936次 （2.5亿） ，加了之后times=4626 4478次 （4.5千万次）
100             }
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102         }
103         if(isPrim) prim[primNum++]=i;//如果是素数，则存入prim素数数组
104     }
105     return prim[primNum-1];
106 }
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108 /*
109     方法二： 由后往前的整数枚举法
110     而且方法二的空间消耗也少
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112     当n=10 0000时，
113     ans=99991
114     times=346次
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116     当n=100 0000时，用方法一的话，根本算不出来
117     ans=99 9983
118     times=1811次
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120     当n=1 0000 0000(一亿)时，
121     ans=9999 9989
122     times=11314次
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124     当n=10 0000 0000(十亿)时，
125     ans=9 9999 9937
126     times=52537次
127 */
128 bool isPrimMothed(int n){
129     bool isPrim=1; //isPrim用来判断一个数是否为素数
130     if(n==2||n==3) return 1;
131     for(int i=2;i*i<=n;i++){
132         times++;
133         if(n%i==0) return 0;
134     }
135     return 1;
136 }
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138 int primLessN_2(int n){
139     for(int i=n;i>=2;i--){
140         if(isPrimMothed(i)) return i;
141     }
142 }
143 int main(){
144     int n;
145     scanf("%d",&n);
146     //int ans=primLessN(n);
147     int ans=primLessN_2(n);
148     cout<<ans<<endl;
149     printf("总判断次数times:%d\n",times);
150     printf("总素数数primNum:%d\n",primNum);
151     return 0;
152 }