openjudge百练4124 海贼王之伟大航路 解题记录

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描述

“我是要成为海贼王的男人！”，路飞一边喊着这样的口号，一边和他的伙伴们一起踏上了伟大航路的艰险历程。



路飞他们伟大航路行程的起点是罗格镇，终点是拉夫德鲁（那里藏匿着“唯一的大秘宝”——ONE PIECE）。而航程中间，则是各式各样的岛屿。

因为伟大航路上的气候十分异常，所以来往任意两个岛屿之间的时间差别很大，从A岛到B岛可能需要1天，而从B岛到A岛则可能需要1年。当然，任意两个岛之间的航行时间虽然差别很大，但都是已知的。

现在假设路飞一行从罗格镇（起点）出发，遍历伟大航路中间所有的岛屿（但是已经经过的岛屿不能再次经过），最后到达拉夫德鲁（终点）。假设他们在岛上不作任何的停留，请问，他们最少需要花费多少时间才能到达终点？

输入输入数据包含多行。

第一行包含一个整数N(2 < N ≤ 16)，代表伟大航路上一共有N个岛屿（包含起点的罗格镇和终点的拉夫德鲁）。其中，起点的编号为1，终点的编号为N。

之后的N行每一行包含N个整数，其中，第i(1 ≤ i ≤ N)行的第j(1 ≤ j ≤ N)个整数代表从第i个岛屿出发到第j个岛屿需要的时间t(0 < t < 10000)。第i行第i个整数为0。
输出输出为一个整数，代表路飞一行从起点遍历所有中间岛屿（不重复）之后到达终点所需要的最少的时间。
样例输入

样例输入1：
4
0 10 20 999
5 0 90 30
99 50 0 10
999 1 2 0

样例输入2：
5
0 18 13 98 8
89 0 45 78 43
22 38 0 96 12
68 19 29 0 52
95 83 21 24 0

样例输出

样例输出1：
100

样例输出2：
137

提示提示：

对于样例输入1：路飞选择从起点岛屿1出发，依次经过岛屿3，岛屿2，最后到达终点岛屿4。花费时间为20+50+30=100。

对于样例输入2：可能的路径及总时间为：

1,2,3,4,5: 18+45+96+52=211

1,2,4,3,5: 18+78+29+12=137

1,3,2,4,5: 13+38+78+52=181

1,3,4,2,5: 13+96+19+43=171

1,4,2,3,5: 98+19+45+12=174

1,4,3,2,5: 98+29+38+43=208

所以最短的时间花费为137
单纯的枚举在N=16时需要14!次运算，一定会超时。

分析：

这道题目作为初学者的我初看会以为是一道搜索的题目，但是因为有了下面的提示，所以就没有去尝试搜索的做法。

知道题目的难点在于用什么动态规划。很自然地我们就会想要把最佳时间作为动态规划数组的值，同时也不难想到必须要把现在登过的岛作为数组的下标之一。但是仅仅如此是不够的，因为不满足动态规划无后效性的要求，所以必须要为数组再添加一个下标。经过试验，我们很容易会发现，前面已经走过的路线中，最后所处的岛屿对于推断现在的时间是必要的，所以数组的第二个下标就是最后落脚的岛屿。

在算法的具体实现上有两个难点：第一个是想到用二进制序列去存储已经走过的岛屿序列，第二个是找到合适的遍历动态规划数组的顺序。

把代码贴一下：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int num;
int Time[16][16];                         //存储输入的时间，好像名字命名为time就会compile error
int dp[1 << 15][15];                      //存储登过的岛的二进制序列为s且最后一个上过的岛为i的时候最少用多少时间
int main()
{
cin >> num;
for (int i = 0; i < num; i++)
for (int j = 0; j < num; j++)
cin >> Time[i][j];
int n = num - 2;                     //排除掉头尾的岛
int lim = (1 << n) - 1;
for (int i = 0; i < n; i++)          //最简单的情况先填充进去
dp[1 << i][i] = Time[0][i + 1];
for (int s = 1; s <= lim; s++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (!(s&(1 << j))) {         //如果不再二进制序列中，设成一个极大的值
dp[s][j] = 1 << 30;
continue;
}
if (dp[s][j] != 0)           //已经填充过
continue;
dp[s][j] = 1 << 30;
int tmp = s - (1 << j);
//找到最好的那个解，相当于动态规划
//我们只需要关注在j之前的那个岛i的位置和时间
for (int i = 0; i < n; i++)
if (s&(1 << i) && (i != j))
dp[s][j] = min(dp[s][j], dp[tmp][i] + Time[i + 1][j + 1]);
}
}
int k = 1 << 30;
for (int i = 0; i < n; i++)
k = min(k, dp[lim][i] + Time[i + 1][num - 1]);
cout << k << endl;
return 0;
}

感觉上，这道题目是一个中规中矩的动态规划题，但是其中有几处涉及到动态规划思想比较深入的内容，实现上也需要动动脑筋，对于初学者来讲是一道很适合的练习题（比如说我

）