近似算法与K-center问题的解释不清楚笔记

注：本文作者也没太搞懂K-center算法

什么是近似算法？

因为存在NP-Hard问题，没有算法能在多项式时间找出最优解。

在设计算法的时候要考虑三个问题：1.最优解 2.快速 3.全部情况

如果三个都考虑，可能没法在多项式时间内完成，所以就考虑2和3，在多项式的时间内找到一个解，这个解可能不是最优解，但也不会太坏。

这就是近似算法

常见例子有：装箱问题（Bin Packing）、背包问题（The Knapsack Problem）、纹理拼接问题（texture packing）

衡量近似算法

近似算法的得到的解不能太坏，不然我们就不用这个算法了。所以要能衡量这个算法的好坏，标准就是所得解与最优情况的比值，哪个放分母无所谓，但结果一定要大于1。

比值可能有小数位，变成大于它的最小整数(1.3->2)，叫这个整数ρ (n)。

这个算法就叫做ρ(n)-approximation algorithm，显然ρ(n)越小越好。

什么是K-center问题

有一堆点（N），你要找到K个中心的位置，每个中心形成一个半径为r的圆，这些圆能覆盖所有的点。

K-center问题分析

定义dist（x，y）和 dist（x,C）x, y是点, C是点的集合。

dist(x, y)：两个点间的距离

dist(x, C)：点x到C集合中所有点的距离的最小值，在本问题里就是里最近中心的距离

在这个问题里，把点实体化为老年人的房子（House->h），中心实体化为老年人活动中心（Center->C）

问题就转化为求出所有的dist(h.i, C)，然后取其最大值作为r，这样每个老年人都最多走r距离找到一个活动中心。

为了让老年人少走点路，K-center问题就需要找出让r最小的K个中心位置。

这个问题里我们用C*和r*表示最佳的情况。

为什么K-center问题需要用近似算法解决

亟待解决！

第一反应是因为K个点的位置组合太多了，遍历会很慢。但很多非近似算法不需要考虑所有情况，只需要考虑某些情况（比如最优情况，greedy）

问题转化为：为什么其他算法思想没法在多项式时间解决这个问题

下面第一个贪婪算法可能能帮助理解。

做了texture packing 的project，感觉四个算法的思想都是贪婪算法的思想，课件上K-center问题的两个可行的2-approximation算法也都是贪婪算法。

是否近似算法一般都用的贪婪算法的思想呢？

一个不可行的贪婪算法

先建造一个老年活动中心，让老年人们都有地方去且r最小，然后再建第二第三个，缩小r的值。

但问题是建造了中心后拆起来不方便，就有可能出现特别糟糕的情况，让这个中心不如废弃。

举例：两个城市集资建立一个老年活动中心，当然会建在两个城市间。但后来老年人们觉得还是太远了，于是让儿女众筹出了可以再建两个中心的钱，在各自城市建立了新的两个中心。第一个中心就没用了。（K = 3）r大幅度缩短，从高速路变成了城市街道的距离。

如果只众筹出了一个中心的钱，那还有一个城市的老年人要跑和以前一样远的距离（半条高速路长），r还是没变。（K = 2），显然多等一段时间在两个城市各建一个才是最优情况。

一个可行的贪婪算法 近似算法Greedy-2r

！！！！！！发现理解有点不太对，思考中。请不要看下去了

这个算法是预先设定一个r值，然后看看这个r值能不能解决问题。

如何看能否解决问题？

随便选一个老年人A把他家作为活动中心，那些离A距离在2r内的老年人就可以不用去别的中心了。然后在从剩下的老年人中重复这个操作，直到没有老年人了为止。

如果最后选出了K以内的老年人，r就是一个可行解。

如果选的比K多，说明r肯定比最优解r*要小。

//伪代码
Centers  Greedy-2r ( Sites S[ ], int n, int K, double r )
{   Sites  S’[ ] = S[ ]; /* S’ is the set of the remaining sites */
Centers  C[ ] = ∅;
while ( S’[ ] != ∅ ) {
Select any s from S’ and add it to C;
Delete all s’ from S’ that are at dist(s’, s) ≤ 2r;
} /* end-while */
if ( |C| ≤ K ) return C;
else ERROR(No set of K centers with covering radius at most r);
}