【二分+复杂度分析】2017.5.21杂题[最大矩阵]题解

题目概述

给出一个有权值的矩阵，选出一个子矩阵（长>1且宽>1），子矩阵的权值定义为四个角上的最小值。求最大权值的子矩阵。

解题报告

直接刷最大值很难避免枚举所有情况，所以这并不是很好办。

由于是在最小值中求最大值，我们想到了二分答案。二分答案mid之后，我们就可以把权值矩阵变成01矩阵（>=mid的格子为1，＜mid的格子为0）。然后我们只需要验证能否选4个1使他们形成矩阵。

如果枚举两行然后扫描列判断是否成立，验证效率是O(n2∗m)的，无法承受。除了这种方法，效率较高又容易想到的验证就只有这种了：枚举一行，存下这一行为1的格子，选排枚举这些格子，用vis[i][j]表示i列和j列是否可以均为1，如果在枚举i,j的时候发现vis[i][j]=true，说明之前就有一行可以同时选i,j，此时验证成功，否则将vis[i][j]赋为true。

但这个方法是O(n∗m2)的，好像也无法承受。其实不然，这个方法是O(m2)的！因为一旦遇到vis[i][j]=true就验证成功返回，否则才将vis[i][j]修正为true。那么也就是说任何i,j只会遇到一次，所以效率是O(m2)的。

示例程序

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=2000,maxm=2000,MAXINT=((1<<30)-1)*2+1;

int n,m,num[maxn+5][maxm+5],now[maxm+5];
bool vis[maxn+5][maxm+5];

char readc()
{
static char buf[100000],*l=buf,*r=buf;
if (l==r) r=(l=buf)+fread(buf,1,100000,stdin);
if (l==r) return EOF; else return *(l++);
}
bool Eoln(char ch) {return ch==10||ch==13||ch==EOF;}
int readi(int &x)
{
int tot=0,f=1;char ch=readc(),lst='+';
while ('9'<ch||ch<'0') {if (ch==EOF) return EOF;lst=ch;ch=readc();}
if (lst=='-') f=-f;
while ('0'<=ch&&ch<='9') tot=tot*10+ch-48,ch=readc();
x=tot*f;
return Eoln(ch);
}
bool check(int MIN)
{
memset(vis,0,sizeof(vis));
for (int i=1;i<=n;i++)
{
now[0]=0;
for (int j=1;j<=m;j++)
if (num[i][j]>=MIN) now[++now[0]]=j;
for (int i=1;i<=now[0]-1;i++)
for (int j=i+1;j<=now[0];j++)
if (vis[now[i]][now[j]]) return true; else
vis[now[i]][now[j]]=true;
}
return false;
}
int main()
{
freopen("matrix.in","r",stdin);
freopen("matrix.out","w",stdout);
readi(n);readi(m);
int L=MAXINT,R=-MAXINT;
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=m;j++)
readi(num[i][j]),L=min(L,num[i][j]),R=max(R,num[i][j]);
while (L<=R)
{
int mid=L+(R-L>>1);
if (check(mid)) L=mid+1; else R=mid-1;
}
printf("%d\n",R);
return 0;
}