BZOJ2154: Crash的数字表格
2017-05-26 20:54
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BZOJ2154
题目要求的是∑i=1n∑j=1mi∗jgcd(i,j)
那么我们枚举gcd(i,j),不妨令n<m
原式变成了:
∑d=1n∑ni=1∑mj=1i∗j[gcd(i,j)==d]d
=∑d=1n∑ndi=1∑mdj=1i∗j∗d2[gcd(i,j)==1]d
=∑d=1nd∗∑i=1nd∑j=1mdi∗j[gcd(i,j)==1]
定义F(x,y)=∑ni=1∑mj=1i∗j[gcd(i,j)==1]
那么原式=∑nd=1d∗F(nd,md)
定义S(x,y)=∑xi=1∑yj=1i∗j
G(x,y,z)=∑xi=1∑yj=1∑z|gcd(i,j)i∗j=z2∗S(xz,yz)
F(x,y)=G(x,y,1)−(G(x,y,2)+G(x,y,3)+G(x,y,5)+……)+(G(x,y,6)+(G(x,y,10)……)−(G(x,y,30)+……)
F(x,y)=∑t=1xμ(t)t2S(xt,yt)
那么ans=∑d=1nd∗∑t=1xμ(t)t2S(ntd,mtd)
令T=td
ans=∑T=1nS(n/T,m/T)∑d|TTdμ(d)d2
令f(T)=∑d|TTdμ(d)d2
f(T)是积性函数,可以线性筛。暴力枚举好像不行。。反正我自己试了T掉了。
题目要求的是∑i=1n∑j=1mi∗jgcd(i,j)
那么我们枚举gcd(i,j),不妨令n<m
原式变成了:
∑d=1n∑ni=1∑mj=1i∗j[gcd(i,j)==d]d
=∑d=1n∑ndi=1∑mdj=1i∗j∗d2[gcd(i,j)==1]d
=∑d=1nd∗∑i=1nd∑j=1mdi∗j[gcd(i,j)==1]
定义F(x,y)=∑ni=1∑mj=1i∗j[gcd(i,j)==1]
那么原式=∑nd=1d∗F(nd,md)
定义S(x,y)=∑xi=1∑yj=1i∗j
G(x,y,z)=∑xi=1∑yj=1∑z|gcd(i,j)i∗j=z2∗S(xz,yz)
F(x,y)=G(x,y,1)−(G(x,y,2)+G(x,y,3)+G(x,y,5)+……)+(G(x,y,6)+(G(x,y,10)……)−(G(x,y,30)+……)
F(x,y)=∑t=1xμ(t)t2S(xt,yt)
那么ans=∑d=1nd∗∑t=1xμ(t)t2S(ntd,mtd)
令T=td
ans=∑T=1nS(n/T,m/T)∑d|TTdμ(d)d2
令f(T)=∑d|TTdμ(d)d2
f(T)是积性函数,可以线性筛。暴力枚举好像不行。。反正我自己试了T掉了。
【代码】
#include <cstdio> #include <iostream> #include <algorithm> #define N 10000005 #define INF 0x7fffffff #define mod 20101009 using namespace std; typedef long long ll; typedef pair<int,int> pa; int read() { int x=0,f=1;char ch=getchar(); while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();} while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();} return x*f; } int n,m; int Miu ,p ; ll sum ; bool Not_Prime ; void Get_Miu() { Miu[1]=sum[1]=1; for(register int i=2;i<=m;i++) { if(!Not_Prime[i]) p[++p[0]]=i,Miu[i]=-1,sum[i]=1LL*i*(1-i); for(register int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=m;j++) { Not_Prime[i*p[j]]=1; if(i%p[j]!=0) Miu[i*p[j]]=-Miu[i],sum[i*p[j]]=sum[i]*sum[p[j]]; else {sum[i*p[j]]=sum[i]*p[j];break;} } } for(register int i=1;i<=n;i++) sum[i]=(sum[i-1]+sum[i]+mod)%mod; } ll Get_Sum(int x,int y){ return (1LL*x*(x+1)/2)%mod*((1LL*y*(y+1)/2)%mod)%mod; } int main() { n=read(),m=read();if(n>m) swap(n,m); Get_Miu(); int pos;ll ans=0; for(register int i=1;i<=n;i=pos+1) { pos=min(n/(n/i),m/(m/i)); ans=(ans+Get_Sum(n/i,m/i)*(sum[pos]-sum[i-1]+mod))%mod; ans=(ans+mod)%mod; } printf("%lld\n",ans); return 0; }
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