【POJ3090】Visible Lattice Points-欧拉函数应用
2017-05-26 18:11
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测试地址:Visible Lattice Points
题目大意:对于一个点(x,y),如果在它和(0,0)之间连一条线段,这条线段不经过其他整点(横坐标和纵坐标均为整数的点),我们就称其为“可见的”。C个询问,每个询问包含一个参数N,请你求出对于所有0≤x,y≤N,可见的整点(x,y)有多少个。特别地,(0,0)不可见。
做法:这题需要应用欧拉函数的性质。
经过分析,我们知道对于整点(x,y),如果gcd(x,y)=1,也就是x和y互质时,它就是可见的。分三种情况考虑:1.x>y;2.x<y;3.x=y。对于第一种情况,我们要求出对于每一个x,小于它的正整数中有多少个和它互质的数,我们发现这就是欧拉函数φ(x)的定义,那么把它们加起来,满足这种情况的可见点数就为φ(2)+...+φ(N)+1(最后这个1是(1,0))。同理,满足第二种情况的可见点数也为φ(2)+...+φ(N)+1(最后这个1是(0,1))。对于第三种情况,很显然只有一个可见点(1,1)。所以最后的答案就是:2(φ(2)+...+φ(N))+3,那么用线性筛求出欧拉函数值,然后预处理欧拉函数的前缀和即可O(1)解决每个询问。
以下是本人代码:
题目大意:对于一个点(x,y),如果在它和(0,0)之间连一条线段,这条线段不经过其他整点(横坐标和纵坐标均为整数的点),我们就称其为“可见的”。C个询问,每个询问包含一个参数N,请你求出对于所有0≤x,y≤N,可见的整点(x,y)有多少个。特别地,(0,0)不可见。
做法:这题需要应用欧拉函数的性质。
经过分析,我们知道对于整点(x,y),如果gcd(x,y)=1,也就是x和y互质时,它就是可见的。分三种情况考虑:1.x>y;2.x<y;3.x=y。对于第一种情况,我们要求出对于每一个x,小于它的正整数中有多少个和它互质的数,我们发现这就是欧拉函数φ(x)的定义,那么把它们加起来,满足这种情况的可见点数就为φ(2)+...+φ(N)+1(最后这个1是(1,0))。同理,满足第二种情况的可见点数也为φ(2)+...+φ(N)+1(最后这个1是(0,1))。对于第三种情况,很显然只有一个可见点(1,1)。所以最后的答案就是:2(φ(2)+...+φ(N))+3,那么用线性筛求出欧拉函数值,然后预处理欧拉函数的前缀和即可O(1)解决每个询问。
以下是本人代码:
#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; int T,N,phi[1010]={0},sum[1010]={0}; bool isprime[1010]={0}; void calc_phi() { isprime[1]=1; for(int i=2;i<=1000;i++) phi[i]=i; for(int i=2;i<=1000;i++) { if (!isprime[i]) { for(int j=1;i*j<=1000;j++) { if (j>1) isprime[i*j]=1; phi[i*j]=phi[i*j]*(i-1)/i; } } } sum[1]=0; for(int i=2;i<=1000;i++) sum[i]=sum[i-1]+phi[i]; } int main() { scanf("%d",&T); calc_phi(); for(int t=1;t<=T;t++) { scanf("%d",&N); printf("%d %d %d\n",t,N,2*sum +3); } return 0; }
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