轮廓线重建：二维平行轮廓线重建理论和方法

1.前言

MarchingCube方法重建三维物体表面的过程是依据像素灰度值的比较来确定等值点，从而得到组成等值面的三角片。由于表征器官组织密度的灰度值是一个在空间分布上不连续的数据，所以仅靠一个灰度阈值定义一个器官组织有时候不能保证重建表面的完整，而图像中的噪声也可能导致重建曲面出现多孔性。

此外，当同样的灰度范围内包含两种不同的组织时，临近的两种组织的灰度去直接先也难以被严格定义。而在实际应用中，不少由如CT、MRI等成像设备获取的切片图像质量较好，同时图像本身的信息也不复杂。这是我们首先的应该是采用图像分割算法自动完成目标轮廓的提取，获得描述感兴趣目标的一系列二维轮廓线的集合。幼儿为轮廓线集合重建三维物体的表面形态，这类方法称为基于二维平行轮廓线的三维重建。

2.基本原理

平行轮廓线三维重建的原理很简单，就是将相邻两层切片图像中目标的轮廓线顶点按照某种规则连接起来，构成一组三角形小面片的集合，从而形成重建物体表面的多面体近似，具体如下图所示。



假设上下两层切片图像中的目标轮廓线分别为P和Q的点集，构成上轮廓线P的点集可以写为p0,p1,p2,p3,...,pm-1;构成下轮廓线Q的点集可以写为q0,q1,q2,q3,...,qn-1。轮廓线上的顶点均按逆时针排布（如上图所示）。将一层切片图像中的轮廓线顶点一次用直线连接，就可以得到轮廓线的多边形近似，开始下定义：

线段：每一条直线段pipi+1或qjqj+1称为线段。
跨距：连接上轮廓线顶点与下轮廓线顶点之间的直线称为跨距。
我们要找的三角形面片就是由一条轮廓线线段与两段跨距构成。为了方便论述，我们分别把三角面片的两个跨距称为左跨距和右跨距。

2.1 三角面片满足的条件

连接上下两条轮廓线的三角片应该满足以下三个条件，这样才能连接构成三维表面而且互不相交。

三角片的3个顶点必须同时具有轮廓线P和Q中的顶点；
每条轮廓线线段必须是一个而且只能是一个三角片的一条边；
一条跨距只能属于两个相邻的三角片。
如果上下轮廓线各有m和n条轮廓线线段，而每条轮廓线线段为一个三角片的一条边，则相邻轮廓线围成的三维表面将包含m+n个基本三角片。
这样约束明显非常粗糙，Keppel和Fuchs[1][2]证明，满足这三个条件的连接方式有很多种。为了保证重建表面自然光滑，我们还需要一些优化准则进行优化。

2.2 常用的优化准则

体积最大准则：选择顶点连接的时候，将选择使得重建表面包围的体积最大的连接；
表面积最小准则：选择顶点连接的时候，将选择使得重建表面的表面积最小的连接；
跨距最短连接（最短对角线法）：选择顶点连接的时候，将选择使得连接上下轮廓线顶点的跨距总和最小的连接。

3.最短对角线法平行轮廓线重建原理

Ekoule提出的最短对角线法把跨距看成对角线，以最短对角线为目标来决定轮廓顶点的连接，使用这种方法构造的三维物体表面简单、易于实现。

对于下层轮廓Q上的一顶点qj，如果上层轮廓P上距qj最近的点为pi，那么以跨距piqj为基础构造连接两轮廓的三角面片有两种情况。如下图所示：



此时，我们就可以依据最短对角线法确定该三角片的第三个顶点；如果跨距piqj+1长度小于跨距pi+1qj，则该三角片的第3个顶点为qj+1，连接pi和qj+1，形成三角片△qjpiqj+1，正如上图所示。否则该三角片的第3个顶点为pi+1，那么就连接pi+1和qj，形成三角片△piqjpi+1。

3.1 最短对角线法实现步骤

对轮廓线的顶点排序，通常按逆时针顺序排列。
在下层轮廓线上选取一点qj作为起点，计算上层轮廓顶点到qj的距离，选择距qj最近的一个点，设为pi，那么，qj和pi作为重建三角片的两个顶点。
分别计算轮廓顶点qj和pi+1的距离D1，轮廓顶点pi和qj+1的距离D2。
如果D1<D2，则三角片的第3个顶点为pi+1,形成三角面片△piqjpi+1,更新i=i+1；否则三角片的第3个顶点为qj+1,则三角片为△qjpiqj+1,更新j=j+1。然后，转到步骤（3）。直到绕所有轮廓顶点一周，这样逐层处理轮廓线，确定所有三角片的顶点。
根据上面步骤确定三角片顶点，依次连接各顶点，得到构成重建表面的三角片集合，完成表面重建。

4.参考文献

[1]Keppel E. Approximating complex surfaces by triangulation of contour lines[J]. Ibm Journal of Research & Development, 2010, 19(1):2-11.

[2]Fuchs H, Kedem Z M, Uselton S P. Optimal surface reconstruction from planar contours. Commun ACM[J]. Communications of the Acm, 1977, 20(2):693-702.

[3]Ekoule A B, Peyrin F C, Odet C L. A triangulation algorithm from arbitrary shaped multiple planar contours[J]. Acm Transactions on Graphics, 1991, 10(2):182-199.