矩阵乘法优化递归式
2017-05-24 22:31
295 查看
序:
在OI比赛中,很多情况下我们可以能通过打表(找规律)或者某些方式发现一个递归式。例如:f(n) = f(n - 1)+f(n - 2),(斐波那契数列)。
通常情况下,我们计算f(n)的时间复杂度就是O(n)(分别计算f(1), f(2) … f(n - 1)).
但是当n很大又或者还有其他处理的复杂度一叠加便会超时。
如果不学习矩阵乘法优化的话,我们恐怕永远不会想到计算递推式还可以进行优化。
实际上利用矩阵乘法,我们可以将O(n)的计算递归式的复杂度降至O(logn)。
优化递归式的特征
形如f(n) = a1 * f(n - 1) + a2 * f(n - 2) + … + ak * f(n - k)+c (c为常数)本文讨论的范畴
形如 f(n) = f(n-1) + f(n-2) + .. + f(n-k) 的递归式(1)形如f(n) = a1 * f(n-1) + a2 * f(n-2) + .. + ak * f(n-k) 的递归式(2)
形如f(n) = a1 * f(n-1) + a2 * f(n-2) + .. + ak * f(n-k) + c 的递归式(3)
实际上理解了最简单的第一个递归式的原理,就很容易理解后面的两种情况。每个前式都是后式的一种特殊情况。
理论基础
首先给出斐波那契数列求第n项的O(logn)的做法,由它引出原理。已知 :
f(n) = f(n -1) + f(n - 2); – (1)
f(n - 1) = f(n - 1); – (2)
由(1)(2)可以得到这样的一个式子:
[ f(n) ] = [1, 1] * [f(n - 1)]
[f(n - 1)] [1, 0] * [f(n - 2)]
这就核及到矩阵乘法的运算规则。矩阵乘法的计算方式如下所示:
A = X * Y。必须满足row(X) = colom(Y)。
A[i][j] = sum{x[i][k] * x[k][j]}。
row(A) = row(X), colom(A) = colom(Y)..
对于上式,f(n) = f(n - 1) + f(n - 2),f(n - 1) = f(n - 1) + 0,满足斐波那契数列的规则。
我们设右边靠左的式子为A,靠右的为F。
那么计算f(n),我们只需要计算A^(n - 1) * F。复杂度O(n)。
但是做幂运算,可以通过快速幂将复杂度从O(n)降到O(logn),因此总复杂度科技降到O(logn)。
通过这个例子我们能发现什么?很显然的便是A与Y(左式与右二式,一下皆简称为A,X,Y)本质上是一个东西,因此通过迭代,直接计算出第n项。
斐波那契数列是一个最简单的例子,它也是(1)的典型例子。
广义斐波那契数列
定义f(n) = a * f(n - 1) + b * f(n - 2).与之前的区别仅仅在于前面的系数不是1,那么构造出等式只需要照葫芦画瓢即可。
[ f(n) ] = [a, b] [f(n - 1)]
[f(n - 1)] [1, 0] [f(n - 2)],本质没有变化。
那么对于f(n) = a1 * f(n - 1) + …. + ak * f(n - k),我们只需要构造一个k * k的矩阵。
(*)式便是一般情况的式子,其实只需要使得第一行满足数列公式,其他行满足f(i) = f(i)即可。
因此只需要令f[i][i - 1] = 1(下标从0开始),其他都是0即可使等式成立。
带常数与系数的递归式
通过之前的经验我们不难看出,矩阵A,Y中的元素一定是每一次计算的时候必需的元素。这次多了一个常数c,因此c也要在A,Y中出现。对此,我们在需要在最后一行加上c,构造成一个(k + 1) * (k + 1)的矩阵,如下。
观察一下(**)式,第1和k+1行的最后都为1,其他新增的空位全是0,如此便构造完成了。
至于原理,再通过矩阵乘法验证一下不就好了吗?
最后给出代码实现(NOI2012 d1t3)
这道题就是一个裸的(3)式情况。
/* About: Matrix Fast Exponentiation to calculate Recursion with Coefficient and Constant From: NOI2012 d1t3 Description: Input: n, p, c, f(0), Mod, mod; Recursion: f(n) = (p * f(n-1) + c) % Mod; Output: f(n) % mod; Auther: kongse_qi Date:2017/05/19 Central: construct a Matrix X[a, 0, 1] and Matrix F[f(1)]. Cal A = X ^ (n-1) * F. The ans is A[0][0] % mod. [1, 0, 0] [f(0)] [0, 0, 1] [ c ] [ f(n) ] [a, 0, 1] [f(n-1)] Recursion f(n) = (p * f(n-1) + c) % Mod == [f(n-1)] = [1, 0, 0] * [f(n-2)] (all % mod); [ c ] [0, 0, 1] [ c ] */ #include <cstdio> #include <cstring> #define read(x) scanf("%d", &x) typedef long long ll; long long mod; ll Mul (ll a, ll b) { ll ans = 0; for(; b; b >>= 1, a = (a + a) % mod) { if(b & 1) ans = (ans + a) % mod; } return ans; } struct Matrix{ ll n, m, x[5][5]; Matrix(){} Matrix(int a, int b): n(a), m(b){} Matrix operator * (const Matrix& a) { Matrix y(n, a.m); memset(y.x, 0, sizeof y.x); for (int i = 0; i < n; i++) { for (int k = 0; k < m; k++) { if (!x[i][k]) continue; for (int j = 0; j < a.m; j++) { y.x[i][j] = (Mul(x[i][k], a.x[k][j]) + y.x[i][j]) % mod; } } } return y; } Matrix Poww(ll times) { Matrix y = *this, z = y; for(--times; times > 0; times >>= 1, z = z * z) { if(times & 1) y = y * z; } return y; } }; void Create(Matrix& x, Matrix& f, ll a1, ll be6a p, ll c) { f.n = x.n = x.m = 3; f.m = 1; memset(x.x, 0, sizeof x.x); x.x[0][0] = p; x.x[0][2] = x.x[1][0] = x.x[2][2] = 1; f.x[0][0] = (Mul(a1, p) + c) % mod; f.x[1][0] = a1; f.x[2][0] = c; return ; } int main() { Matrix x, f; ll a1, n, Mod, c, p; scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld", &mod, &p, &c, &a1, &n, &Mod); Create(x, f, a1, p, c); Matrix y = x.Poww(n - 1) * f; printf("%lld\n", y.x[0][0] % Mod); return 0; }
至于一些更简单的情况,以下有几道练习。
luogu P1962 斐波那契数列
luogu P1349 广义斐波那契数列
Vijos 1067 Warcraft III 守望者的烦恼
NOI2012 随机数生成器
最后一题值得注意的是,最后几个点乘法过程会炸出longlong,因此需要使用类快速幂的方法快速求和(积),边加边取模。
至此结束。
箜瑟_qi 7:58
2017.05.25
相关文章推荐
- hdu 4686 矩阵乘法优化递推关系
- 程序碎片- 矩阵乘法优化(dp,循环)
- 递归+优化 一维数组实现矩阵乘法
- 【Contra】 矩阵乘法优化 dp
- 矩阵快速幂求斐波那契通项(矩阵乘法优化线性递推式)
- 2014多校第五场1010 || HDU 4920 Matrix multiplication(矩阵乘法优化)
- GDOI2016模拟3.9 暴走的图灵机 矩阵乘法优化暴力
- CUDA: 矩阵乘法优化
- CUDA 矩阵乘法优化
- hdu 1575 Tr A(矩阵快速幂乘法优化算法)
- poj 3735 Training little cats 矩阵快速幂+稀疏矩阵乘法优化
- [矩阵乘法优化DP] Topcoder SRM554. TheBrickTowerHardDivOne
- HDU 4914 Linear recursive sequence(矩阵乘法递推的优化)
- bzoj 4818 [Sdoi2017]序列计数 矩阵乘法优化dp+容斥
- Fast Matrix Calculation HDU - 4965 优化矩阵乘法
- 51nod--1242 斐波那契数列第N项 (矩阵乘法优化)
- 【矩阵乘法优化DP】BZOJ1875 [SDOI2009]HH去散步
- POJ 3735 矩阵乘法的小优化GET。
- bzoj 1898: [Zjoi2005]Swamp 沼泽鳄鱼 (矩阵乘法优化DP)
- [矩阵乘法特征多项式优化]黄金