BZOJ 1008: [HNOI2008]越狱

Description

　　监狱有连续编号为1…N的N个房间，每个房间关押一个犯人，有M种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果

相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱

Input

　　输入两个整数M，N.1<=M<=10^8,1<=N<=10^12

Output

　　可能越狱的状态数，模100003取余

Sample Input

2 3

Sample Output

6

HINT

　　6种状态为(000)(001)(011)(100)(110)(111)

分析

一看这数据范围就是logn嘛！于是我们来分析一下

f[i]表示连续i个房间可能发生越狱的情况数

当状态从f[i]转移到f[i+1]时有两种情况：

1.原先状态就会发生越狱 那么我们再塞一个人进去也一定会发生越狱 情况数为f[i]*m

2.原先状态不会发生越狱 那么我们只有塞进去一个与旁边人信仰相同的人才会越狱 情况数为m^i-f[i]

故得到递推式 f[i+1]=f[i]*(m-1)+m^i

这一看就是矩阵乘法！麻烦！不会写！妈蛋！

我们换一个思路，求一下补集

f[i]表示连续i个房间无法发生越狱的情况数

当状态从f[i]转移到f[i+1]时有两种情况：

1.原先状态就会发生越狱 那么我们再塞一个人进去也一定会发生越狱 情况数为0

2.原先状态不会发生越狱 那么我们只有塞进去一个与旁边人信仰不同的人才不会发生越狱 情况数为f[i]*(m-1)

故f[i+1]=f[i]*(m-1)

初值f[1]=m，最后得到结果用m^n相减即可

代码

#include <bits/stdc++.h>

#define MOD 100003
#define ll long long

ll pow(ll x,ll y)
{
ll res = 1;
while (y)
{
if (y & 1)
res = (ll)res * x % MOD;
x = x * x % MOD;
y >>= 1;
}
return res;
}

int main()
{
ll n,m;
scanf("%lld%lld",&m,&n);
m %= MOD;
printf("%lld\n",((pow(m,n) - m * pow(m - 1, n - 1)) % MOD + MOD) % MOD);
}