埃及分数问题 迭代加深搜索

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题目：埃及分数问题
链接：lrj算法竞赛入门经典P206
题意：在古埃及，人们使用单位分数的和(即 1/a, a是自然数)表示一切有理数。例如，2/3 = 1/2+1/6;
但不允许:2/3 = 1/3 + 1/3; 因为在加数中不允许有相同的。
对一个分数a/b， 表示方法有很多种，其中加数少的比加数多的好，如果加数个数相同，则最小的分数越大越好。
eg:
19/45=1/3 + 1/12 + 1/180
19/45=1/3 + 1/15 + 1/45
19/45=1/3 + 1/18 + 1/30
19/45=1/4 + 1/6 + 1/180
19/45=1/5 + 1/6 + 1/18

选择最后一种，以为加数数量相同，1/18最大。

思路：迭代加深搜索！

控制迭代的层数。从一个加数，两个加数，。。。，maxd个加数搜索。
假设：当前maxed层。以递增顺序枚举分母，假设当前枚举到第i个加数为1/e;
那么前i个分数之和sa/sb + (maxd-i)*1/e（因为后面的分母肯定更大，那么值肯定更小，估算最大可能的值） < a/b（要分解的分数）;
说明在已经确定前i个数的情况下，maxd层无法满足。可以不用继续枚举下去。从而剪枝。

如果已经获得了前i个分数之和sa/sb， 那么接下来枚举的1/e应该满足1/e+sa/sb<=a/b; 即：1/e<=a/b-sa/sb; 找出
最小的满足条件的e。从它开始枚举之后递增的分母。从而剪枝。

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod=1e9+7;
const int maxn=1e2+5;
const double eps = 1e-12;
LL ans[1004];
LL v[1004];
LL a, b;
LL f(LL a,LL b)
{
for(LL i = b/a; ; i++){///1/i <= a/b; => b<=a*i; => b/a<=i
if(a*i>=b) return i;
}
return -1;
}
LL gcd(LL a,LL b)
{
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
bool better(int pos)
{
for(int i = pos; i >= 1; i--){
if(v[i]!=ans[i]){
return ans[i]==-1||v[i]<ans[i];
}
}
return false;
}
bool dfs(int pos,int maxd,int from,LL a,LL b)
{
if(pos==maxd){
if(b%a!=0) return false; ///无法满足分解；
v[pos] = b/a;
if(better(pos)){
memcpy(ans+1,v+1,sizeof(LL)*(maxd+1));
}
return true;
}
from = max(from*1LL,f(a,b));
int ok = 0;
for(int i = from; ; i++){
if(b*(maxd-pos+1)<=a*i)///1/i + (maxd-pos)/i <= a/b; ///这里必须等于，因为如果不等于，会出现相同的加数。其中一个这里得来，
///还有一个在终止条件 v[pos] = b/a;那里得来。
{
break;
}
v[pos] = i;
LL aa = a*i-b;
LL bb = b*i;
LL g = gcd(aa,bb);
if(dfs(pos+1,maxd,i+1,aa/g,bb/g)){
ok = true;
}
}
return ok;
}
int main()
{
while(scanf("%lld%lld",&a,&b)==2)///a<b
{
int ok = 0;
LL ta = a, tb = b;
LL g = gcd(a,b);
a = a/g;
b = b/g;
memset(ans, -1, sizeof ans);
memset(v, -1, sizeof v);
int maxd;
for(maxd = 1; ; maxd++){
if(dfs(1,maxd,f(a,b),a,b)) {///第1个加数开始，maxd层，f(a,b)表示第一个最小的e，a,b表示要分解的分数。
ok = 1; break;
}
}
//cout<<"maxd = "<<maxd<<endl;
if(ok){
printf("%lld/%lld=",ta,tb);
printf("1/%lld",ans[1]);
for(int i = 2; i <= maxd; i++){
printf("+1/%lld",ans[i]);
}
printf("\n");
}
}
return 0;
}