01背包问题

题目：有编号 0--4的五件物品，它们的重量分别为 4,5,6,2,2, 它们的价值分别为 6,4,5,3，6。现有一个承重为 10 的背包，求背包能装的最大价值为多少？

注意：

1.0-1背包问题的特点是每件物品只有一件，只有要或者不要两种选择。

2.用动态规划二维数组  dp[j][i] 表示用承重为 i 的背包，去装前 j 件物品，能够获得的最大价值。

   递推关系式为： dp[j][i]=max(dp[j-1][i],dp[j-1][i-weight[j]]+value[j]).

  dp[j][i]从之前的状态推导过来，前面的状态只包含两种情况:

     (a)要第 j 个物品，此时的前 j-1 件物品最大只能占重量 i-weight[j]，此时的总价值为 dp[j-1][i-weight[j]]+value[j];

     (b)不要第 j 个物品，此时的前 j-1 件物品最大占重就是 i,此时总价值为 dp[j-1][i]。

3.此时产生的二维 dp 数组为【横轴为 j（物品），纵轴为 i（重量）】：

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	6	6	6	6	6	6	6
1	0	0	0	0	6	6	6	6	6	10	10
2	0	0	0	0	6	6	6	6	6	10	11
3	0	0	3	3	6	6	9	9	9	10	11
4	0	0	6	6	9	9	12	12	15	15	15

代码：

int main()
{
vector<int> weight{ 4,5,6,2,2 };
vector<int> value{6,4,5,3，6 };
int bagSize = 10, numObj = 5;
vector<vector<int>> dp(numObj, vector<int>(bagSize+1, 0)); //大小设置为 bagSize+1,是为了承重为 0 是全部为 0，以此为初始解
for (int i = 1; i <= bagSize; i++){
for (int j = 0; j < numObj; ++j){
if (i < weight[j])
dp[j][i] = j == 0 ? 0 : dp[j - 1][i];
else{
if (j == 0)
dp[j][i] = value[j];
else
dp[j][i] = max(dp[j-1][i], dp[j-1][i - weight[j]] + value[j]);
}
}
}

return 0;
}