4833: [Lydsy2017年4月月赛]最小公倍佩尔数

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Description

令(1+sqrt(2))^n=e(n)+f(n)*sqrt(2),其中e(n),f(n)都是整数，显然有(1-sqrt(2))^n=e(n)-f(n)*sqrt(2)。令g(

n)表示f(1),f(2)…f(n)的最小公倍数，给定两个正整数n和p,其中p是质数，并且保证f(1),f(2)…f(n)在模p意义

下均不为0,请计算sigma(i*g(i)),1<=i<=n.其在模p的值。

Input

第一行包含一个正整数 T ，表示有 T 组数据，满足 T≤210 。接下来是测试数据。每组测试数据只占一行，包含

两个正整数 n 和 p ，满足 1≤n≤10^6,2≤p≤10^9+7 。保证所有测试数据的 n 之和不超过 3×10^6 。

Output

对于每组测试数据，输出一行一个非负整数，表示这组数据的答案。

Sample Input

5

1 233

2 233

3 233

4 233

5 233

Sample Output

1

5

35

42

121

HINT

Source

鸣谢Tangjz提供试题

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这感觉是道非常非常难的数学题。。。

以下为了方便，记(a,b)=gcd(a,b)，[a,b]=lcm(a,b)

好像数学上也是这样表示的？

不管怎么样先打个表，

发现f(1)=1,f(2)=2,f(n)=2f(n−1)+f(n−2)

既然f函数这么有规律，那么g呢。。。。好吧死活没有

于是就去翻译题解了。。。。。。题解真难！

先是把递推式的转移矩阵列出来，然后手算几项

发现有规律f(n+m)=f(n−1)f(m)+f(n)f(m+1)

然后大力数学归纳一下。。。发现是能证明的。。

于是(f(n+m),f(n))=(f(n−1)f(m),f(n))

由打出来的表不难发现，f(n−1)和f(n)是互质的

所以(f(n−1)f(m),f(n))=(f(m),f(n))，

显然把互质部分的因子去掉等式仍然成立

考虑辗转相除法的过程，可以证明(f(n),f(m))=f((n,m))

考虑任意两个位置a,b，[f(a),f(b)]=f(a)f(b)(f(a),f(b))=f(a)f(b)f((a,b))

考虑这个式子([a1,a2,…,an],b)

可以只关心每类素因子对答案的贡献

于是原式可化为[(a1,b),(a2,b),…,(an,b)]

考虑任意三个位置i,j,k

[f(i),f(j),f(k)]=[f(i),f(j)]f(k)([f(i),f(j)],f(k))=f(i)f(j)f((i,j))f(k)[f((i,k)),f((j,k))]

下面那个lcm暴力展开就得到f(i)f(j)f(k)f((i,j,k))f((i,j))f((i,k))f((k,j))

于是乎大胆猜结论？？？(一辈子猜不出来系列)

上面是小清新与现实的分割线

令Sn={1,2,…,n}

g(n)=∏T⊆Sf(gcdi∈T(i))(−1)|T|+1

这东西。。。听说可以归纳(这个部分苟蒻亲身写了式子。。然后吐了)

那就假装是可以用归纳法证明的吧！(皆大欢喜:D)

再定义f(n)=∏d|nh(d)

于是原式又化为∏T⊆S∏d|gcdi∈T(i)h(d)(−1)|T|+1

这个式子。。。题解化到结果的操作姿势太玄学。。完全看不懂

结果竟是g(n)=∏ni=1h(i)

又h(n)=∏d|nf(d)u(nd)

这个用类似证明莫比乌斯反演的证明方式证明

反正剩下就是大力调和级数筛筛筛。。。

复杂度O(nlogn)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

const int maxn = 1E6 + 5;

int n,p,T,tot,f[maxn],g[maxn],h[maxn],mu[maxn],pri[maxn];
bool not_pri[maxn];

#define Mul(a,b) (1LL * (a) * (b) % p)
#define Add(a,b) ((a) + (b) < p ? (a) + (b) : (a) + (b) - p)

inline int ksm(int x)
{
int ret = 1;
for (int y = p - 2; y; y >>= 1)
{
if (y & 1) ret = Mul(ret,x);
x = Mul(x,x);
}
return ret;
}

void Solve()
{
scanf("%d%d",&n,&p);
f[1] = h[1] = g[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
f[i] = Add(Mul(2,f[i - 1]),f[i - 2]);
g[i] = ksm(f[i]); h[i] = 1;
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
if (mu[i] == 1)
{
for (int j = i,now = 1; j <= n; j += i,now++)
h[j] = Mul(h[j],f[now]);
}
else if (mu[i] == -1)
{
for (int j = i,now = 1; j <= n; j += i,now++)
h[j] = Mul(h[j],g[now]);
}
}
int Ans = 0,tmp = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
tmp = Mul(tmp,h[i]);
Ans = Add(Ans,Mul(i,tmp));
}
cout << Add(Ans,p) << endl;
}

int main()
{
#ifdef DMC
freopen("DMC.txt","r",stdin);
#endif

mu[1] = 1;
for (int i = 2; i < maxn; i++)
{
if (!not_pri[i])
pri[++tot] = i,mu[i] = -1;
for (int j = 1; j <= tot; j++)
{
int Nex = i * pri[j];
if (Nex >= maxn) break;
not_pri[Nex] = 1;
if (i % pri[j] == 0)
{
mu[Nex] = 0; break;
}
mu[Nex] = -mu[i];
}
}
cin >> T; while (T--) Solve();
return 0;
}