扩展欧几里得（poj 2115 poj 1061）

jumping_frog

欧几里德与扩展欧几里德算法

欧几里德算法
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。

基本算法：设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

第一种证明：

      a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

　　假设d是a,b的一个公约数，则有

　　d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

　　因此d是(b,a mod b)的公约数

　　假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

　　d | b , d |r ，但是a = kb +r

　　因此d也是(a,b)的公约数

　　因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

 

第二种证明：

    要证欧几里德算法成立，即证: gcd(a,b)=gcd(b,r),其中 gcd是取最大公约数的意思，r=a mod b
    下面证 gcd（a，b）=gcd（b，r）
    设  c是a，b的最大公约数，即c=gcd（a，b），则有 a=mc，b=nc，其中m，n为正整数，且m，n互为质数
    由 r= a mod b可知，r= a- qb 其中，q是正整数，
    则 r=a-qb=mc-qnc=（m-qn）c
    b=nc,r=(m-qn)c，且n，（m-qn）互质（假设n，m-qn不互质，则n=xd, m-qn=yd 其中x,y,d都是正整数，且d>1
                                                                则a=mc=(qx+y)dc, b=xdc,这时a,b 的最大公约数变成dc，与前提矛盾，
                                                                 所以n ，m-qn一定互质）
    则gcd（b,r）=c=gcd（a,b）
    得证。

 

算法的实现：

最简单的方法就是应用递归算法，代码如下：


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代码可优化如下：


View Code

当然你也可以用迭代形式：


View Code

 

扩展欧几里德算法
基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

证明：设 a>b。

　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

　　2，ab!=0 时

　　设 ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

     这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

　  上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

 

扩展欧几里德的递归代码：

void gcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
if(!b) {d=a;x=1;y=0;}
else
{
gcd(b,a%b,d,y,x);
y-=x*(a/b);
}
}

 扩展欧几里德非递归代码：

int exgcd(int m,int n,int &x,int &y)
{
int x1,y1,x0,y0;
x0=1; y0=0;
x1=0; y1=1;
x=0; y=1;
int r=m%n;
int q=(m-r)/n;
while(r)
{
x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;
x0=x1; y0=y1;
x1=x; y1=y;
m=n; n=r; r=m%n;
q=(m-r)/n;
}
return n;
}
扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：

（1）求解不定方程；

（2）求解模线性方程（线性同余方程）；

（3）求解模的逆元；

 

（1）使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法：

  对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
  上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足：
  p = p0 + b/Gcd(p, q) * t 
  q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)
  至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。

  在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，

  p * a+q * b = c的其他整数解满足：

  p = p1 + b/Gcd(a, b) * t
  q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)
  p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。

下面是例题POj1061 青蛙 

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

void gcd ( __int64 a , __int64 b , __int64 &d , __int64 &x , __int64 &y )
{

if ( ! b )
d = a , x = 1 , y = 0 ;
else
gcd ( b , a%b , d , y , x ) , y -= x * ( a / b ) ;
}

int main()
{
__int64 s , t , m , n , l ;
while ( ~ scanf ("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d" , & s , & t , & m , & n , & l ) )
{
__int64 a , b , d , ans ;
__int64 x , y ;
a = l ;
b = m - n ;
ans = t - s ;
if ( b < 0 )
b = n - m , ans = s - t ;
gcd ( a , b , d , x , y ) ;
if ( ans % d )//无解出现的情况
printf("Impossible\n") ;
else
{
__int64 tmp = l / d ;
ans = ( ans / d * y ) % tmp ;//求出答案，因答案要求最小，故还得对答案的“周期”取余
if ( ans < 0 )//如果出现的是负数，就要加上周期
ans += tmp ;
printf ("%I64d\n",ans);
}
}
return 0;
}

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ds

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<bitset>
#include<map>
#include<vector>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
#define max(a,b) (a) > (b) ? (a) : (b)
#define min(a,b) (a) < (b) ? (a) : (b)
#define ll long long
#define eps 1e-10
#define MOD 1000000007
#define N 1000000
#define inf 1e12
void gcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y)
{
if(!b){d=a;x=1;y=0;}
else
{
gcd(b,a%b,d,y,x);
y-=x*(a/b);
}
}
int main()
{
ll a,b,c,k,p,q;
while(scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&p,&q,&a,&b,&k)==4){
if(a==0 && b==0 && c==0 && k==0){
break;
}
ll x,y,r;
ll d;
gcd(a,b,d,x,y);
//printf("---%I64d %I64d %I64d\n",d,x,y);
if((b-a)%d!=0){
printf("FOREVER\n");
}
else{
x=(b-a)/d*x;
x=x%(bb/d);
if(x<0)
x+=(bb/d);
printf("%lld\n",x);
}
}
return 0;
}


之前一直wa  wa在了1<<k;时1应该要加（ll）强转换

今晚上高神不在，今下午高神在，我没敢来，晚上班长组织看电影不得不去喽~  饿死了外卖快点到