bzoj1010 toy玩具装箱 （斜率优化dp）

Description

P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1…N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

输出最小费用

Sample Input

5 4

3

4

2

1

4

Sample Output

1

思维过程

dp[i] = min(dp[j]+(sum[i]-sum[j]+i-j-1-L)^2)

令c=1+l

dp[k]+(sum[i]+i-sum[k]-k-c)^2 <= dp[j]+(sum[i]+i-sum[j]-j-c)^2

dp[k]+(sum[i]+i)^2-2*(sum[i]+i)(sum[k]+k+c)+(sum[k]+k+c)^2 <= dp[j]+(sum[i]+i)^2-2(sum[i]+i)*(sum[j]+j+c)+(sum[j]+j+c)^2

dp[k]-2*(sum[i]+i)(sum[k]+k+c)+(sum[k]+k+c)^2 <= dp[j]-2(sum[i]+i)*(sum[j]+j+c)+(sum[j]+j+c)^2

即(dp[k]+(sum[k]+k+c)^2-dp[j]-(sum[j]+j+c)^2)/2*(sum[k]+k-sum[j]-j) <= sum[i]+i

此时 k比j优 (k > j)

承接前两道题，所以对斜率优化就不过多阐述了，需要解释的读者请自行前往

斜率优化

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define LL long long
using namespace std;

int n, L;
int c[50005], q[50005];
LL sum[50005], dp[50005], C;

LL cc(int j, int k){
return (dp[k]+(sum[k]+k+C)*(sum[k]+k+C)-dp[j]-(sum[j]+j+C)*(sum[j]+j+C));
}

LL dd(int j, int k){
return 2*(sum[k]+k-sum[j]-j);
}

void work(){
int head = 0, tail = 0;
for(int i=1; i<=n; i++){
while(head<tail && cc(q[head],q[head+1])<=(sum[i]+i)*dd(q[head],q[head+1])) head++;
int j = q[head];
dp[i] = dp[j]+(sum[i]+i-sum[j]-j-C)*(sum[i]+i-sum[j]-j-C);
while(head<tail && cc(q[tail],i)*dd(q[tail-1],q[tail])<cc(q[tail-1],q[tail])*dd(q[tail],i)) tail--;
q[++tail] = i;
}
return;
}

int main(){
scanf("%d%d", &n, &L);
C = L + 1;
for(int i=1; i<=n; i++){
scanf("%d", &c[i]);
sum[i] = sum[i-1] + c[i];
}
work();
printf("%lld", dp
);
return 0;
}