BZOJ 1061: [Noi2008]志愿者招募 费用流

1061: [Noi2008]志愿者招募

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Description

　　申奥成功后，布布经过不懈努力，终于成为奥组委下属公司人力资源部门的主管。布布刚上任就遇到了一个难题：为即将启动的奥运新项目招募一批短期志愿者。经过估算，这个项目需要N 天才能完成，其中第i 天至少需要Ai 个人。 布布通过了解得知，一共有M 类志愿者可以招募。其中第i 类可以从第Si 天工作到第Ti 天，招募费用是每人Ci 元。新官上任三把火，为了出色地完成自己的工作，布布希望用尽量少的费用招募足够的志愿者，但这并不是他的特长！于是布布找到了你，希望你帮他设计一种最优的招募方案。

Input

　　第一行包含两个整数N, M，表示完成项目的天数和可以招募的志愿者的种类。 接下来的一行中包含N 个负
整数，表示每天至少需要的志愿者人数。 接下来的M 行中每行包含三个整数Si, Ti, Ci，含义如上文所述。了
方便起见，我们可以认为每类志愿者的数量都是无限多的。

Output

　　仅包含一个整数，表示你所设计的最优方案的总费用。

Sample Input

3 3

2 3 4

1 2 2

2 3 5

3 3 2

Sample Output

14

HINT

1 ≤ N ≤ 1000，1 ≤ M ≤ 10000，题目中其他所涉及的数据均 不超过2^31-1。

以下内容转自:http://blog.csdn.net/DCrusher/article/details/50865787

%神犇博客

招募第一类志愿者3名，第三类志愿者4名 30%的数据中，1 ≤ N, M ≤ 10，1 ≤ Ai ≤ 10； 100%的数据中，1 ≤ N ≤ 1000，1 ≤ M ≤ 10000，题目中其他所涉及的数据均 不超过2^31-1。

这道题正确的解法是构造网络，求网络最小费用最大流，但是模型隐藏得较深，不易想到。构造网络是该题的关键，以下面一个例子说明构图的方法和解释。

例如一共需要4天，四天需要的人数依次是4,2,5,3。有5类志愿者，如下表所示：

种类 1 2 3 4 5

时间 1-2 1-1 2-3 3-3 3-4

费用 3 4 3 5 6

设雇佣第i类志愿者的人数为X[i]，每个志愿者的费用为V[i]，第j天雇佣的人数为P[j]，则每天的雇佣人数应满足一个不等式，如上表所述，可以列出

P[1] = X[1] + X[2] >= 4

P[2] = X[1] + X[3] >= 2

P[3] = X[3] + X[4] +X[5] >= 5

P[4] = X[5] >= 3

对于第i个不等式，添加辅助变量Y[i] (Y[i]>=0) ，可以使其变为等式

P[1] = X[1] + X[2] - Y[1] = 4

P[2] = X[1] + X[3] - Y[2] = 2

P[3] = X[3] + X[4] +X[5] - Y[3] = 5

P[4] = X[5] - Y[4] = 3

在上述四个等式上下添加P[0]=0,P[5]=0，每次用下边的式子减去上边的式子，得出

① P[1] - P[0] = X[1] + X[2] - Y[1] = 4

② P[2] - P[1] = X[3] - X[2] -Y[2] +Y[1] = -2

③ P[3] - P[2] = X[4] + X[5] - X[1] - Y[3] + Y[2] =3

④ P[4] - P[3] = - X[3] - X[4] + Y[3] - Y[4] = -2

⑤ P[5] - P[4] = - X[5] + Y[4] = -3

观察发现，每个变量都在两个式子中出现了，而且一次为正，一次为负。所有等式右边和为0。接下来，根据上面五个等式构图。

每个等式为图中一个顶点，添加源点S和汇点T。

如果一个等式右边为非负整数c，从源点S向该等式对应的顶点连接一条容量为c，权值为0的有向边；如果一个等式右边为负整数c，从该等式对应的顶点向汇点T连接一条容量为c，权值为0的有向边。

如果一个变量X[i]在第j个等式中出现为X[i]，在第k个等式中出现为-X[i]，从顶点j向顶点k连接一条容量为∞，权值为V[i]的有向边。

如果一个变量Y[i]在第j个等式中出现为Y[i]，在第k个等式中出现为-Y[i]，从顶点j向顶点k连接一条容量为∞，权值为0的有向边。

构图以后，求从源点S到汇点T的最小费用最大流，费用值就是结果。

根据上面的例子可以构造出如下网络，红色的边为每个变量X代表的边，蓝色的边为每个变量Y代表的边，边的容量和权值标已经标出(蓝色没有标记，因为都是容量∞，权值0)。



在这个图中求最小费用最大流，流量网络如下图，每个红色边的流量就是对应的变量X的值。



所以，答案为43+23+3*6=36。

上面的方法很神奇得求出了结果，思考为什么这样构图。我们将最后的五个等式进一步变形，得出以下结果

① - X[1] - X[2] + Y[1] + 4 = 0

② - X[3] + X[2] + Y[2] - Y[1] - 2 = 0

③ - X[4] - X[5] + X[1] + Y[3] - Y[2] + 3 = 0

④ X[3] + X[4] - Y[3] + Y[4] - 2 = 0

⑤ X[5] - Y[4] - 3 = 0

可以发现，每个等式左边都是几个变量和一个常数相加减，右边都为0，恰好就像网络流中除了源点和汇点的顶点都满足流量平衡。每个正的变量相当于流入该顶点的流量，负的变量相当于流出该顶点的流量，而正常数可以看作来自附加源点的流量，负的常数是流向附加汇点的流量。因此可以据此构造网络，求出从附加源到附加汇的网络最大流，即可满足所有等式。而我们还要求noi_employee_3最小，所以要在X变量相对应的边上加上权值，然后求最小费用最大流。

#include<cmath>
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#include<cstdio>
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#include<cstring>
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#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
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#include<queue>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch<='9'&&ch>='0'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
return f*x;
}
const int N=2000;const int inf=0X7f7f7f7f;
int m,n,ecnt=1,last
,from
,dis
,S=0,T=N-1,q
,ans;
bool inq
;
struct EDGE{int fr,to,nt,val,ct;}e[N<<7];
inline void readd(int u,int v,int val,int ct)
{e[++ecnt]=(EDGE){u,v,last[u],val,ct};last[u]=ecnt;}
inline void add(int u,int v,int val,int ct)
{readd(u,v,val,ct);readd(v,u,0,-ct);}
bool spfa()
{
memset(dis,0X7f,sizeof(dis));inq[S]=1;
int head=0,tail=1;q[head]=S;dis[S]=0;
while(head!=tail)
{
int u=q[head++];if(head==N)head=0;inq[u]=0;
for(int i=last[u];i;i=e[i].nt)
if(e[i].val&&dis[e[i].to]>dis[u]+e[i].ct)
{
dis[e[i].to]=dis[u]+e[i].ct;from[e[i].to]=i;
if(!inq[e[i].to])
{q[tail++]=e[i].to;inq[e[i].to]=1;if(tail==N)tail=0;}
}
}
return dis[T]<inf;
}
void mincf()
{
int tmp=inf;
for(int i=from[T];i;i=from[e[i].fr])tmp=min(tmp,e[i].val);
for(int i=from[T];i;i=from[e[i].fr]){e[i].val-=tmp;e[i^1].val+=tmp;ans+=tmp*e[i].ct;}
}
int main()
{
n=read();m=read();int u=0,v,val;
for(int i=1;i<=n;i++){v=read();if(v-u>=0)add(S,i,v-u,0);else add(i,T,u-v,0);add(i+1,i,inf,0);u=v;}
add(n+1,T,u,0);
for(int i=1;i<=m;i++){u=read();v=read();val=read();add(u,v+1,inf,val);}
while(spfa())mincf();
printf("%d\n",ans);return 0;
}