Link-Cut Tree

ps：推荐论文《QTREE解法的一些研究》by杨哲。

作用

高效解决动态树问题。

思想

Link-Cut Tree（简称LCT）将树的边分为Prefered Edge和普通边，将点分为Prefered Child和普通点，Prefered Edge和Prefered Child是不断变化的，且刚开始只有普通边和普通点。LCT的核心操作Access(x)：访问x。

假设最后访问了lst节点，对于节点x，如果lst在x的儿子son的子树中，则son变成x的Prefered Child（原先的Prefered Child变为普通点），连接x和son的边变成Prefered Edge（原先的Prefered Edge变为普通边，由此可见x至多只有一个Prefered Child）。特殊的是，lst没有Prefered Child。那么显然访问了lst之后，lst到ro（ro表示lst所在树的根）之间的边都变成Prefered Edge了。

对于一条由Prefered Edge连接而成的链，我们用数据结构（通常用Splay，因为Splay可以方便的分裂和合并）来维护，将链自顶向下看做一个序列（dep越小越靠前）用Splay储存，且这条链的Splay的根节点储存了一个Path Father，表示这条链顶端节点的father。要注意，这个关系是单向的，也就是说这条链的Splay的根节点的father是Path Father，但Path Father所在Splay和这条链的Splay是不连通的。

假设我们已经实现了Access，那么如何实现Link(x,y)（把y连接到x上）和Cut(x,y)（把y从x上断开）呢？首先我们需要实现一个make_ro(p)，作用是把p变成p所在树（注意，不是p所在Splay！）的根。代码如下：

void make_ro(int p) {Access(p);Splay(p);Add_flip(p);}

非常简短，但是好像很费解，我们来看图：



先访问p，这样p到ro之间的边就都变成Prefered Edge了（也就是说p到ro之间的点都在同一个Splay中了），然后把p伸展到p所在Splay的根。由于p是最深的节点，所以其他点均在p的左边，但是p成为了根节点，这条链就被翻转了，加翻转标记。完成这三个操作之后，p就成为了新根。

有了make_ro操作，Link和Cut就很简单了：

void Link(int x,int y) {Access(y);make_ro(y);father[y]=x;}

先把y变成根，然后把father[y]给x就行了（不要把son[x][0/1]给y，因为这是单向连接）。

void Cut(int x,int y)
{
make_ro(y);Access(x);Splay(x);
father[y]=son[x][0]=0;Pushup(x);
}

先把y变成根，然后访问x，访问之后x所在链中就只有x和y两个节点了，伸展x，则y必定是x的左二子。断开连接，更新x。

然而Access还没讲，其实非常暴力，假设目前处理到p，上次处理了lst。那么先断开p与原先Prefered Child之间的连接，然后连接p和lst，更新p。重复这个过程直到p为空。

void Access(int p)
{
int lst=0;
while (p)
{
Splay(p);son[p][1]=lst;Pushup(p);
//先Splay(p)，这样son[p][1]就是原先p的Prefered Child的子树了
//将son[p][1]给成lst，更新p
//不用修正father[son[p][1]]，因为p成为了father[son[p][1]]的Path Father
lst=p;p=father[p]; //继续处理
}
}

这样不会超时吗？之后再讲。

除了Link和Cut，我们还可以实现以下功能：

1.取出x->y的路径

make_ro(x)，Access(y)，此时x->y的路径被存在同一棵Splay中。

2.求x和y的LCA

Access(x)，Access(y)，Splay(x)，则LCA=x的Path Father。

特殊：当x没有Path Father时，LCA=x（因为y跨越了x到ro，所以x没有Path Father）。

效率

Splay的总效率为O((n+Q)∗log2(n))，但是Access的总效率呢？

Access的效率取决于Prefered Child改变的次数，而Prefered Child改变的次数取决于Prefered Edge改变的次数。Prefered Edge和普通边不禁让我们想到了树链剖分-轻重链剖分中的重边和轻边。根据轻重链剖分的定义，我们会发现每次Access，至多有log2(n)条普通边变成了轻的Prefered Edge，也就是说普通边变成轻的Prefered Edge的总次数为(n+Q)∗log2(n)。但是有多少普通边变成了重的Prefered Edge呢？我们转化一下，普通边变成重的Prefered Edge的次数=重的Prefered Edge变成普通边的次数+n（可能最后全是重的Prefered Edge），而重的Prefered Edge变成普通边必定意味着一条普通边变成了轻的Prefered Edge，所以普通边变成重的Prefered Edge的次数=(n+Q)∗log2(n)+n。

综上所述Access的总效率为O((n+Q)∗log2(n))，也就是说LCT的总效率为O((n+Q)∗log2(n))。

ps：然而Splay常数巨大，所以LCT常数巨大……

模板题

BZOJ2002，题解传送门。