Educational Codeforces Round 20 F. Coprime Subsequences(莫比乌斯反演)

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题意：

给你一个序列，问你有多少个子序列的gcd（子序列）=1。

题解：

考虑一下容斥，枚举gcd然后容斥，先加上所有子序列的总个数2n−1，然后减去gcd=2的，然后减去gcd=3的，然后减去gcd=5的，然后加上gcd=6的….为什么不减去gcd=4呢？

因为这些的贡献统计到gcd=2了，减去gcd=2就包含了。 f(i) 为以 i 为gcd 的序列数，那么f(i)=2cnt(i)−1 ，cnt(i) 是以 i 为因子的数的个数，然后你发现这个东西就是莫比乌斯反演，直接线性筛。

然后快速统计含有某个数的作为因子的数有多少个。因为这时考虑的约数就在[1,100000]这里面。O(N−−√)考虑每个数的约数即可。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int maxn=123456;
typedef long long ll;
int mu[maxn],prime[maxn],cnt[maxn],Pow[maxn];
int vis[maxn];
int n;
int total;
void shai()
{
mu[1] = 1; //固定的
for (int i = 2; i <= maxn; i++)
{
if (!vis[i])  //是素数
{
prime[++total] = i; //记录，之后要用到
mu[i] = -1;  //质因数分解个数为奇数
}
for (int j = 1; j <= total; j++)//质数或者合数都进行的
{
if (i * prime[j] > maxn) break;
vis[i * prime[j]] = 1;
if (i % prime[j] == 0)
{
mu[prime[j] * i] = 0;
break;
}
mu[prime[j] * i]  = - mu[i];
//关键，使得它只被最小的素数筛去。例如i等于6的时候。
//当时的素数只有2,3,5。6和2结合筛去了12，就break了
//18留下等9的时候，而9*2=18筛去
}
}
}
int main()
{
ll ans = 0 ;
int x;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>x;
for(int j=1;j*j<=x;j++)
{
if(x%j==0){
cnt[j]++;
if(j!=x/j)
{
cnt[x/j]++;
}
}
}
}
Pow[0]=1;
for(int i=1;i<maxn;i++)
{
Pow[i]=(Pow[i-1]*2)%mod;
}
shai();
for(int i=1;i<maxn;i++)
{
ans = (ans + (Pow[cnt[i]]-1)*mu[i])%mod;
}
ans=(ans+mod)%mod;
cout<<ans<<endl;
return 0;
}