快速幂详解——2017中国大学生程序设计竞赛 - 女生专场 Easy Summation

Easy Summation

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Problem Description

You are encountered with a traditional problem concerning the sums of powers.

Given two integers n
and k.
Let f(i)=ik,
please evaluate the sum f(1)+f(2)+...+f(n).
The problem is simple as it looks, apart from the value of
n
in this question is quite large.

Can you figure the answer out? Since the answer may be too large, please output the answer modulo109+7.

Input

The first line of the input contains an integer
T(1≤T≤20),
denoting the number of test cases.

Each of the following T
lines contains two integers n(1≤n≤10000)
and k(0≤k≤5).

Output

For each test case, print a single line containing an integer modulo109+7.

Sample Input

3
2 5
4 2
4 1

Sample Output

33
30
10

Source

2017中国大学生程序设计竞赛 - 女生专场
 
思路：
刚刚看到这道题觉得就是用大数相加的方法，先分别求出f(1)...f(n),在把这些数加起来。最后调试完成后发现超时，后来在网上看到别人40行代码，才知道了快速幂，确实快很多，安利一下这种解法。
 
先上代码

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;
long long pow2(long long a,int b)//快速幂 位运算版
{
long long r=1,base=a;
while(b)
{
if(b&1) r=(r*base)%1000000007;
base=(base*base)%1000000007;
b>>=1;
}
return r;
}
int main()
{
int  m;
cin>>m;
while(m--)
{
int n,k;
cin>>n>>k;
long long sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
sum+=pow2(i,k);
sum=sum%1000000007;//1000000007
}
cout<<sum<<endl;
}

return 0;
}

快速幂的思想：

　　首先，快速幂的目的就是做到快速求幂，假设我们要求a^b,按照朴素算法就是把a连乘b次，这样一来时间复杂度是O(b)也即是O(n)级别，快速幂能做到O(logn)，快了好多好多。它的原理如下：

　　假设我们要求a^b，那么其实b是可以拆成二进制的，该二进制数第i位的权为2^(i-1)，例如当b==11时

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   a^11=a^(2^0+2^1+2^3)

　　11的二进制是1011，11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1，因此，我们将a¹¹转化为算 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3) 

，看出来快的多了吧原来算11次，现在算三次，但是这三项貌似不好求的样子....不急，下面会有详细解释。
 

 
 

　　由于是二进制，很自然地想到用位运算这个强大的工具： &  和 >>  
 

 
 

　　&运算通常用于二进制取位操作，例如一个数 & 1 的结果就是取二进制的最末位。还可以判断奇偶x&1==0为偶，x&1==1为奇。
 

 
 

　　>>运算比较单纯,二进制去掉最后一位，不多说了，先放代码再解释。
 

 
 

　　

1 int poww(int a,int b){
2     int ans=1,base=a;
3     while(b!=0){
4         if(b&1!=0)
5         　　ans*=base;
6         base*=base;
7         b>>=1;
8　　 }
9     return ans;
10 }

　　代码很短，死记也可行，但最好还是理解一下吧，其实也很好理解，以b==11为例，b=>1011,二进制从右向左算，但乘出来的顺序是 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，是从左向右的。我们不断的让base*=base目的即是累乘，以便随时对ans做出贡献。
　　其中要理解base*=base这一步，看：：：base*base==base^2,下一步再乘，就是base^2*base^2==base^4,然后同理
 base^4*base4=base^8,,,,,see?是不是做到了base-->base^2-->base^4-->base^8-->base^16-->base^32.......指数正是 2^i 啊，再看上  面的例子，a¹¹= a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，这三项是不是完美解决了，，嗯，快速幂就是这样。
　　顺便啰嗦一句，由于指数函数是爆炸增长的函数，所以很有可能会爆掉int的范围，根据题意决定是用 long long啊还是unsigned int啊还是mod某个数啊自己看着办。