BZOJ 3028: 食物 母函数

3028: 食物

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Description

[align=left]明明这次又要出去旅游了，和上次不同的是，他这次要去宇宙探险！[/align]
[align=left]我们暂且不讨论他有多么NC，他又幻想了他应该带一些什么东西。理所当然的，你当然要帮他计算携带N件物品的方案数。[/align]
[align=left]他这次又准备带一些受欢迎的食物，如：蜜桃多啦，鸡块啦，承德汉堡等等[/align]
[align=left]当然，他又有一些稀奇古怪的限制：[/align]
[align=left]每种食物的限制如下：[/align]
[align=left]       承德汉堡：偶数个[/align]
[align=left]       可乐：0个或1个[/align]
[align=left]            鸡腿：0个，1个或2个[/align]
[align=left]            蜜桃多：奇数个[/align]
[align=left]            鸡块：4的倍数个[/align]
[align=left]            包子：0个，1个，2个或3个[/align]
[align=left]       土豆片炒肉：不超过一个。[/align]
[align=left]            面包：3的倍数个[/align]
[align=left] [/align]
[align=left] [/align]
[align=left] [/align]
[align=left]注意，这里我们懒得考虑明明对于带的食物该怎么搭配着吃，也认为每种食物都是以‘个’为单位（反正是幻想嘛），只要总数加起来是N就算一种方案。因此，对于给出的N,你需要计算出方案数，并对10007取模。[/align]
[align=left] [/align]

Input

[align=left]输入样例1[/align]
[align=left]  1[/align]
[align=left]输出样例1[/align]
[align=left]  1[/align]
[align=left] [/align]
[align=left]输入样例2[/align]
[align=left]  5[/align]
[align=left]输出样例2[/align]
[align=left]  35[/align]
[align=left] 数据范围[/align]
[align=left]   对于40%的数据，1<=N<=100000;[/align]
[align=left]   对于所有数据，1<=n<=10^500;[/align]
[align=left] [/align]

这个题呢。。。最开始看到绝壁是不会的

然后开始狂搞母函数，看了好多资料，找了orange学了好多鬼东西

当然，最后完全帮我搞明白的是我大龙哥%%%

先高出食物的母函数

汉堡：1+x^2+x^4+.....=1/(1-x^2)

可乐：1+x

鸡腿：1+x+x^2

蜜桃多:x+x^3+x^5+.....=x/(1-x^2)

鸡块：1+x^4+x^8+....=1/(1-x^4)

包子：1+x+x^2+x^3

土豆：1+x

面包：1+x^3+x^6+...=1/(1-x^3)
乘到一起得到f(x)=x/(1-x)^4

用牛顿二项式定理展开

括弧:

B(x)=(1+x+x^2+···)(1+x+x^2+···)···(1+x+x^2+···)

=(1+x+x^2+···)^n

=(1-x)^-n

B(x)中x^k的展开次数是C(n+k-1,k)

所以最后答案为C(n+2,3)   哈哈哈不要忘了之还乘过一个x

这里粘一份PoPoQQQ的代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define M 510
#define MOD 10007
using namespace std;
int n;
char s[M];
int main()
{
int i;
scanf("%s",s+1);
for(i=1;s[i];i++)
(n=(n<<1)+(n<<3)+(s[i]-'0'))%=MOD;
cout<<(n*(n+1)%MOD*(n+2)%MOD*1668%MOD)<<endl;
return 0;
}