【bzoj1013】[JSOI2008]球形空间产生器sphere

Description

　　有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球

面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

　　第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点

后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

　　有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点

后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2

0.0 0.0

-1.0 1.0

1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

HINT

　　提示：给出两个定义：1、 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。2、 距离：设两个n为空间上的点A, B

的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 + … + (an-bn)^2 )

题解

我们设球心为X(x1,x2,…,xn)

假设有两点A(a1,a2,…,an)和B(b1,b2,…,bn)

那么我们可以得到两个方程

(x1-a1)^2+(x2-a2)^2+…+(xn-an)^2=r^2

(x1-b1)^2+(x2-b2)^2+…+(xn-bn)^2=r^2

发现带平方不能高斯消元

于是我们两式相减

(a1-b1)x1+(a2-b2)x2+…+(an-bn)xn=[ (a1^2-b1^2)+(a2^2-b2^2)+…+(an^2-bn^2) ]/2

这就可以高斯消元了

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define N 10001
#define M 1000001
#define ll long long
using namespace std;
int n,k;
double pos[20],a[20][20],ans[20];
inline int read()
{
int x=0;char ch=getchar();
while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
while (ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return x;
}
int main()
{
n=read();
for (int i=1;i<=n;i++)
scanf("%lf",&pos[i]);
for (int i=1;i<=n;i++)
{
double temp;
for (int j=1;j<=n;j++)
{
scanf("%lf",&temp);
a[i][j]=pos[j]-temp;
a[i][n+1]+=pos[j]*pos[j]-temp*temp;
}
a[i][n+1]/=2;
}
for (int i=1;i<=n;i++)
{
k=0;
for (int j=i;j<=n;j++)
if (fabs(a[j][i])>fabs(a[k][i]))
k=j;
for (int j=1;j<=n+1;j++)
swap(a[i][j],a[k][j]);
for (int j=i+1;j<=n;j++)
{
double temp=-a[j][i]/a[i][i];
for (k=i;k<=n+1;k++)
a[j][k]+=a[i][k]*temp;
}
}
for (int i=n;i;i--)
{
for (int j=n;j>i;j--)
a[i][n+1]-=a[i][j]*ans[j];
ans[i]=a[i][n+1]/a[i][i];
}
for (int i=1;i<=n;i++)
printf("%.3lf%c",ans[i],i==n?'\n':' ');
return 0;
}