BZOJ2423 [HAOI2010]最长公共子序列 (LCS)

BZOJ2423 [HAOI2010]最长公共子序列 (LCS)

Description

求出两个数列的LCS长度与个数

题解

对与第一问，应该都会求，用基本的动态规划就可以搞定。

问题是怎么求个数。

令f[i][j]表示a序列到第i个数与b序列到第j个数的LCS长度。

令g[i][j]表示a序列到第i个数与b序列到第j个数的LCS个数。

如果a[i]==b[j]

那么f[i][j]==f[i-1][j-1]+1,g[i][j]+=g[i-1][j-1]，

如果f[i][j]==f[i-1][j] 那么g[i][j]+=g[i-1][j].

如果f[i][j]==f[i][j-1] 那么g[i][j]+=g[i][j-1].

这很好理解，就是f[i][j]的个数可以是因为a[i],b[j]相同，加一推出来的;也可以是由f[i-1][j]与f[i][j-1]推来(如果长度相等的话)

如果a[i]!=b[j]

那么f[i][j]==max(f[i-1][j],f[i][j-1])

如果f[i][j]==f[i-1][j] 那么g[i][j]+=g[i-1][j].

如果f[i][j]==f[i][j-1] 那么g[i][j]+=g[i][j-1].

如果f[i][j]==f[i-1][j-1]那么g[i][j]-=g[i-1][j-1].

为什么要减呢？首先确定一点，如果a[i]!=b[j] ,必然f[i-1][j-1]≤max(f[i-1][j],f[i][j-1])

当取等号时，必然是f[i-1][j]==f[i][j-1]时。

又因为g[i-1][j]由g[i-2][j]与f[i-1][j-1]推来，g[i][j-1]由g[i][j-2]与f[i-1][j-1]推来。

f[i-1][j-1]被算了两遍，所以要减去一次f[i-1][j-1]。

因为空间限制，要用滚动数组。

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define MAXN 5000+10
#define MOD 100000000
using namespace std;

int f[2][MAXN],n,la,lb,g[2][MAXN];
char a[MAXN],b[MAXN];
int main()
{
scanf("%s",a);a[strlen(a)-1]=0;
scanf("%s",b);b[strlen(b)-1]=0;
la=strlen(a);lb=strlen(b);
for(int i=0;i<max(la,lb);i++) g[0][i]=g[i%2][0]=1;

for(int i=1;i<=la;i++)
{
for(int j=1;j<=lb;j++)
{
int now=i%2,pre=(i-1)%2;
g[now][j]=0;
if(a[i-1]==b[j-1])
{
int now=i%2,pre=(i-1)%2;
f[now][j]=f[pre][j-1]+1;
g[now][j]+=g[pre][j-1];g[now][j]%=MOD;
if(f[now][j]==f[pre][j]) g[now][j]+=g[pre][j],g[now][j]%=MOD;
if(f[now][j]==f[now][j-1]) g[now][j]+=g[now][j-1],g[now][j]%=MOD;
}else
{
f[now][j]=max(f[pre][j],f[now][j-1]);
if(f[now][j]==f[pre][j]) g[now][j]+=g[pre][j],g[now][j]%=MOD;
if(f[now][j]==f[now][j-1]) g[now][j]+=g[now][j-1],g[now][j]%=MOD;
if(f[now][j]==f[pre][j-1]) g[now][j]=((g[now][j]-g[pre][j-1])%MOD+MOD)%MOD;
}
}
}
printf("%d\n%d\n",f[la%2][lb],g[la%2][lb]);
return 0;
}