POJ3352 Road Construction

Road Construction

来自这里。

双连通分量

题意：比较裸的题意，就是给一个无向图，问添加多少条边后能使整个图变成双连通分量

分析：建议先学了双连通分量的相关知识，因为这题是算是个模板题（我自己写了模板，过了这题，但是还没有充分测试），如果没学好相关知识即便这个模板题也不好懂

双连通分量分为【点双连通分量，边双连通分量】，这题是个边双连通分量，就是要求出整个图的边双连通分量，然后缩点，然后找出缩点后每个点的度，度为1的点其实是树叶，答案就是(leaf+1)/2去上整，为什么是这个答案，网上的解释是，每次找到两个叶子他们的最近公共祖先最远，然后给这两个叶子连一条边，然后依次找出这样的点，所以是(leaf+1)/2

现在为问题就是1.怎么缩点。2.怎么统计缩点后的度

 ////////////  注意一点  ///////////////////

这题的题意是保证了图是连通的，所以才有上面的计算公式，所以只要dfs一次，如果图不连通，可能要dfs多次，并且不是上面的计算公式(leaf+1)/2

两种做法：

1.简化tarjan，在边双连通分量中，每个点low[u]其实已经记录是这个点u是属于哪个边双连通分量了，low[u] = low[v] ，那么点u和点v在一个边双连通分量中，所以我们可以不用急着找什么连通分量，我们先运行一次dfs，把那个顶点的low都计算出来，然后我们查看原图的每一条边（u，v），看看原图的两个点u，v是不是属于不同的连通分量，是的话，缩点后它们之间就有一条边，那么就要统计它们的度。统计完后就可以知道哪些是叶子了

2.上面的做法，是在dfs后再处理边双连通分量的，可以一边dfs，一边就找到边双连通分量呢？是可以，这个方法才是要讲的重点

首先有几个知识点

先搞清楚，树边，后向边，前向边，横叉边是什么，维基百科有讲解

对原图缩点后，变成了一棵无根树，树的边是什么?其实就是原图的桥，所以，我们可以在dfs过程中把所有的桥保存下来，放在一个表中，然后dfs完后，直接去查看那个表，桥的两端是两个点，这两个点是一个属于两个不同的边双连通分量的，所以我们可以直接统计这些缩点的度

判断桥的条件比较简单，对于一条树边（注意是树边），在dfs过程中是从u到v的（可以看做u是v的父亲），且满足low[v] > dfn[u] ， 那么无向边(u,v)就是桥，就可以把这条边保存在表中

另外在这个dfs中借助了栈（方法1可以用栈，也可以不用，因为方法1简化了tarjan），在dfs过程中访问了点就不断入栈。在找到一条桥后，就准备将一些点出栈，因为这些准备出栈的点都是属于一个边双连通分量的，出栈的终于条件是，点v最后出来，点u不能出，注意，点u不能，点u不是属于点v的那个连通分量的，因为桥（u，v）分开了他们

方法1：简化了tarjan的过程，注意vis的意思，其实它的作用代替了栈的作用，vis[i]=0,1,2分别表示还没访问，已经访问但是还没退出，访问完并退出，它表示的是一种时间上的顺序

这个代码跑得快，0ms

1 #include <iostream>
2 #include <cstdio>
3 #include <cstring>
4 using namespace std;
5 #define N 1010
6 #define M 1010
7 #define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
8
9 int n,tot;
10 int head
,dfn
,low
,belong
,de
,stack
,bridge[M][2],ins
,dcnt,bcnt,top,bnum;
11 struct edge
12 {
13     int u,v,next;
14 }e[2*M];
15
16 void add(int u ,int v ,int k)
17 {
18     e[k].u = u; e[k].v = v; e[k].next = head[u]; head[u] = k++;
19     u = u^v;  v = u^v;  u = u^v;
20     e[k].u = u; e[k].v = v; e[k].next = head[u]; head[u] = k++;
21 }
22
23 void dfs(int u ,int fa)
24 {
25     dfn[u] = low[u] = ++dcnt;
26     stack[++top] = u; ins[u] = 1;
27     for(int k=head[u]; k!=-1; k=e[k].next)
28     {
29         int v = e[k].v;
30         if(v == fa) continue;
31         if(!dfn[v]) //树边
32         {
33             dfs(v,u);
34             low[u] = min(low[u] , low[v]);
35             if(low[v] > dfn[u]) //边(u,v)为桥，可以统计一个边连通分支
36             {
37                 //保存桥
38                 bridge[bnum][0] = u;
39                 bridge[bnum++][1] = v;
40
41                 ++bcnt;
42                 while(true)
43                 {
44                     int x = stack[top--];
45                     ins[x] = 0;
46                     belong[x] = bcnt;
47                     if(x == v) break;
48                 }//注意点u并没有出栈，因为点u属于另一个边连通分量
49             }
50         }
51         else if(ins[v]) //后向边
52             low[u] = min(low[u] , dfn[v]);
53         //横叉边为（dfn[v] && !ins[v]），跳过
54     }
55 }
56
57 void solve()
58 {
59     memset(dfn,0,sizeof(dfn));
60     memset(de,0,sizeof(de));
61     memset(ins,0,sizeof(ins));
62     dcnt = bcnt = top = bnum = 0;
63     dfs(1,-1);
64     if(top)
65     {
66         ++bcnt;
67         while(true)
68         {
69             int x = stack[top--];
70             ins[x] = 0;
71             belong[x] = bcnt;
72             if(x == 1) break;
73         }
74     }
75
76     for(int i=0; i<bnum; i++) //取出所有的桥
77     {
78         int u = bridge[i][0];
79         int v = bridge[i][1];
80         de[belong[u]]++;
81         de[belong[v]]++;
82         //统计缩点后的的度
83     }
84     int leaf = 0;
85     for(int i=1; i<=bcnt; i++)
86         if(de[i] == 1)
87             leaf++;
88     cout << (leaf+1)/2 << endl;
89
90 //可以把下面的注释去掉，看看记录的内容，帮组理解
91 /*
92     for(int u=1; u<=n; u++)
93         cout << u << "[" << belong[u] << "]" << endl;
94     for(int i=1; i<=bcnt; i++)
95         cout << "[" << de[i] << "]" << endl;
96     for(int i=0; i<bnum; i++)
97     {
98         int u = bridge[i][0], v = bridge[i][1];
99         printf("桥： %d %d\n",u,v);
100         printf("缩点后的边: %d %d\n",belong[u] , belong[v]);
101     }
102 */
103 }
104
105 int main()
106 {
107     while(cin >> n >> tot)
108     {
109         memset(head,-1,sizeof(head));
110         int u,v,k=0;
111         for(int i=0; i<tot; i++,k+=2)
112         {
113             cin >> u >> v;
114             add(u,v,k);
115         }
116         solve();
117     }
118     return 0;
119 }