高斯相乘引理及其证明

高斯相乘引理

N(x;a,A)N(x;b,B)=N(0;a−b,A+B)N⎛⎝x;aA+bB1A+1B,11A+1B⎞⎠

其中N(x;a,A)表示以均值为a，方差为A，自变量为x的高斯概率密度函数。

证：

N(x;a,A)N(x;b,B)∝∝∝∝exp[−(x−a)22A−(x−b)22B]exp[−x2(12A+12B)+x(aA+bB)]exp⎡⎣−(12A+12B)⎛⎝x−aA+bB1A+1B⎞⎠2⎤⎦N⎛⎝x;aA+bB1A+1B,11A+1B⎞⎠

其中∝表示正比于。因此

N(x;a,A)N(x;b,B)=N(0;a−b,A+B)N⎛⎝x;aA+bB1A+1B,11A+1B⎞⎠

证毕

从高斯相乘引理（Lemma）我们可以知道，两个高斯PDF相乘正比于一个新的高斯PDF。另外可以证明，当PDF为复高斯的情况，高斯相乘引理也是成立的。