关于lucas的应用

首先给出Lucas（卢卡斯）定理：

有非负整数A、B，和素数p，A、B写成p进制为：A=a
a[n-1]...a[0]，B=b
b[n-1]...b[0]。

则组合数C(A,B)与C(a
,b
)×C(a[n-1],b[n-1])×…×C(a[0],b[0]) mod p同余。

即：Lucas(n,m,p)=C(n%p,m%p)×Lucas(n/p,m/p,p) ，特别的，Lucas（x，0，p）=1。

其实说白了，Lucas定理就是求组合数C（n，m）mod p（p是素数）的值，
即(（ n! /(n-m)!）/m! )mod p，而我们

又知道(a/b)mod p=a*b^(p-2)mod p（这里用到了一点逆元和费马小定理的知识），这样我们就可以在计算阶乘的过程中对p取模，不会造成溢出。（需要注意的是Lucas定理处理的p的范围大致为10^5数量级）

lucas 的预处理 ：

void init(){
a[0] = a[1] = 1;
fact[0] = fact[1] = 1;
inv[1] = 1;
for(int i = 2; i <= 100005; i++)
{
fact[i] = fact[i-1] * i % mod;
inv[i] = (mod - mod/i)*inv[mod%i]%mod;
a[i] = a[i-1] * inv[i] % mod;
}
}

LL C(int n, int m){
return fact
*a[n-m]%mod*a[m]%mod;
}

一些对于n很大的情况得用lucas

非预处理模板：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long llg;
const int N =150000;
llg n, m, p, fac
;
void init()
{
int i;
fac[0] =1;
for(i =1; i <= p; i++)
fac[i] = fac[i-1]*i % p;
}
llg quick_mod(llg a, llg b)
{
llg tmp = a % p, ans =1;
while(b)
{
if(b &1)  ans = ans * tmp % p;
tmp = tmp*tmp % p;
b >>=1;
}
return  ans;
}
llg C(llg n, llg m)
{
if(m > n)  return 0;
return  fac
*quick_mod(fac[m]*fac[n-m], p-2) % p;
}
llg Lucas(llg n, llg m)
{
if(m ==0)  return 1;
else return  (C(n%p, m%p)*Lucas(n/p, m/p))%p;
}
int main()
{
int t;
scanf("%d", &t);
while(t--)
{
scanf("%I64d%I64d%I64d", &n, &m, &p);
init();
printf("%I64d\n", Lucas(n+m, m));
}
return 0;
}