动态规划的详细解析（01背包问题）

算法分析之动态规划详解

先举个例子01背包问题具体例子：假设现有容量15kg的背包，另外有4个物品，分别为a1，a2，a3, a4。物品a1重量为3kg，价值为4；物品a2重量为4kg，价值为5；物品a3重量为5kg，价值为6, a4重6千克，价值为7。将哪些物品放入背包可使得背包中的总价值最大？

对于这样的问题，如果如上述所涉及的数据比较少的时候，我们通过列举就能算出来，例如，上边的例子的答案是：将a4和a3与a2放入背包中，这样总重量为6+5+4=15，总价值为5+6+7=18，这样总价值最大。但是如果上述给出的条件很多，此时我们光靠用眼睛看是绝对不行的，所以我们要用上动态规划的思想。

关于动态规划的思想是如何建立的，若初学者对动态规划还是很迷惑的，可以打开下面的文章链接。

点击打开链接
 http://blog.csdn.net/u014028070/article/details/39695669

动态规划的基本思想与分治法类似，也是将待求解的问题分解为若干个子问题（阶段），按顺序求解子阶段，前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息。在求解任一子问题时，列出各种可能的局部解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其他局部解。依次解决各子问题，最后一个子问题就是初始问题的解。

由于动态规划解决的问题多数有重叠子问题这个特点，为减少重复计算，对每一个子问题只解一次，将其不同阶段的不同状态保存在一个二维数组中。

与分治法最大的差别是：适合于用动态规划法求解的问题，经分解后得到的子问题往往不是互相独立的（即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解）。

我们以01背包为例子：

思路：先将原始问题一般化，欲求背包能够获得的总价值，即欲求前i个物体放入容量为m（kg）背包的最大价值c[i][m]——使用一个数组来存储最大价值。而前i个物体放入容量为m（kg）的背包，又可以转化成前(i-1)个物体放入背包的问题。下面使用数学表达式描述它们两者之间的具体关系。

表达式中各个符号的具体含义。

w[i] : 第i个物体的重量；

p[i] : 第i个物体的价值；

c[i][m] ：前i个物体放入容量为m的背包的最大价值；

c[i-1][m] ：前i-1个物体放入容量为m的背包的最大价值；

c[i-1][m-w[i]] ： 前i-1个物体放入容量为m-w[i]的背包的最大价值；

由此可得：

c[i][m]=max{c[i-1][m-w[i]]+pi , c[i-1][m]}（此时用到递归）

引用网上的一个图更能说明情况：

问题分析：令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)个物品中能够装入容量为就j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大价值，则可以得到如下的动态规划函数:

(1)   V(i,0)=V(0,j)=0

(2)   V(i,j)=V(i-1,j)  j<wi 

V(i,j)=max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-wi)+vi) }j>wi

(1)式表明：如果第i个物品的重量大于背包的容量，则装人前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价是相同的，即物品i不能装入背包；第(2)个式子表明:如果第i个物品的重量小于背包的容量，则会有一下两种情况：(a)如果把第i个物品装入背包，则背包物品的价值等于第i-1个物品装入容量位j-wi 的背包中的价值加上第i个物品的价值vi; (b)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。显然，取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。

#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
int V[200][200];//前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值
int max(int a,int b)  //一个大小比较函数，用于当总重大于第I行时
{
if(a>=b)
return a;
else return b;
}

int Knap(int n,int w[],int v[],int x[],int C)
{
int i,j;
for(i=0;i<=n;i++)
V[i][0]=0;
for(j=0;j<=C;j++)
V[0][j]=0;
for(i=0;i<=n-1;i++)
for(j=0;j<=C;j++)
if(j<w[i])
V[i][j]=V[i-1][j];
else
V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]);
j=C;
for(i=n-1;i>=0;i--)
{
if(V[i][j]>V[i-1][j])
{
x[i]=1;
j=j-w[i];
}
else
x[i]=0;
}
printf("选中的物品是:\n");
for(i=0;i<n;i++)
printf("%d ",x[i]);
printf("\n");
return V[n-1][C];

}

int main()
{
int s;//获得的最大价值
int w[4];//物品的重量   重量  价值  和物品的状态 均对应着存到数组中，物品从1开始。
int v[4];//物品的价值
int x[4];//物品的选取状态   选中则是1  没选中为0
int n,i;
int C;//背包最大容量
n=4;
printf("请输入背包的最大容量:\n");
scanf("%d",&C);

printf("物品数:\n");
scanf("%d",&n);
printf("请分别输入物品的重量:\n");
for(i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&w[i]);

printf("请分别输入物品的价值:\n");
for(i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&v[i]);

s=Knap(n,w,v,x,C);  //调用核心函数

printf("最大物品价值为:\n");
printf("%d\n",s);
system("pause");
return 0;

}

Java 代码

public static int knapsack(int[] wt, int[] val, int maxWt) {
int itemLength = wt.length;
int[][] maxVal = new int[itemLength + 1][maxWt + 1];
for (int i = 0; i <= itemLength; i++) {
maxVal[i][0] = 0;
}
for (int i = 0; i <= maxWt; i++) {
maxVal[0][i] = 0;
}
for (int item = 1; item <= itemLength; item++) {
for (int weight = 1; weight <= maxWt; weight++) {
if(wt[item - 1] <= weight) {
maxVal[item][weight] = Math.max(maxVal[item - 1][weight - wt[item - 1]] + val[item - 1],
maxVal[item - 1][weight]);
} else {
maxVal[item][weight] = maxVal[item - 1][weight];
}
}
}
//        for (int[] rows : maxVal) {
//            for (int col : rows) {
//                System.out.format("%5d", col);
//            }
//            System.out.println();
//        }
return maxVal[itemLength][maxWt];
}