GCD - Extreme (II) （数论，欧拉函数）

题目来源：https://vjudge.net/problem/UVA-11426

【题意】

求在1-n之间所有任意两个数的的最大公因数的和。

【思路】

做完这道题，依旧感觉头脑懵懵的，看了好多篇博客方才看懂了这道题的解法，因为之前做过几道数论题，关于素数的比较多，这到题因为最大公因数就自然而然的想到了素数筛法，一直在找所谓的规律。最后终于崩溃了。。。

便搜了博客慰藉我不安的心灵，但是很多博客我发现一个共同的优点，写的让我看不懂，这就比较厉害了。终于，被我发现了一篇特别接地气的博文，此处为链接：http://www.cnblogs.com/staginner/archive/2012/10/29/2745135.html，然后接下来，就是我的叙述和理解。

因为让求的1-n区间里任两个数的最大公因数之和，所以假设gcd(n,m)=z，在这里，因为n和m的范围都是超级大，所以，不能枚举n，m，但是可以枚举m，z，或者n，z。

具体思路是：假设gcd(x,y)=1,那么当执行到x，y的时候，最后的和都要加1，那么相应的，执行到2x，2y时，最后的和都要加2，以此类推，执行到kx，ky的时候最后的和都要加k，那么这些一切的根源都归咎于gcd(x,y)=1，所以才有了上面那一句话，枚举n，z（n，m选其一，无所谓的），这里的z就是上面的1，2，。。k。枚举z的问题解决了，那么轮到n了，枚举n，假设一个值为num，那么num代表与n的最大公因数是z（1，2，3，，，，k）的个数，这里的z有好多值，但是任何的z（大于1）都可以有最根本的gcd（x，y）推出，所以算出只需要算出z=1时num的值就可以了，这个时候，就会想到欧拉函数值（小于n的数里与n互质的个数）。然后，这道题算是结束了。

【代码】

#include<map>
#include<stack>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<string>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define MAXN 4000010
using namespace std;
const int INF=1e9;
typedef long long LL;
const int maxn=4e6+10;
LL euler[maxn];
LL a[maxn];
int main()
{
LL n;
mem(euler,0);
euler[1]=1;
for(int i=2; i<=maxn; i++)
{
if(!euler[i])//筛法求欧拉函数值
{
euler[i]=i-1;
for(int j=2*i; j<=maxn; j+=i)
{
if(!euler[j])
euler[j]=j;
euler[j]=euler[j]/i*(i-1);
}
}
for(int j=1; i*j<=maxn; j++)//根据gcd（x，y）推出z不等于1的num值。
a[i*j]+=euler[i]*j;
}
for(int i=1; i<=maxn; i++)//累加。成前缀合
a[i]+=a[i-1];
while(~scanf("%lld",&n)&&n)
printf("%lld\n",a
);
}