洛谷月赛P3768 简单的数学题

简述

　　这是道比较有意思的题。

　　首先用莫比乌斯反演推出答案：

　　令g(x)=(x(x+1)2)2

　　ans=∑x=1nx2g(⌊nx⌋)∑d|xdμ(xd)

　　后面那个卷积直接线性筛，然后直接做是O(n)的，能过60分。良心出题人部分分给的好足啊。

　　注意到一个事情，前面的那个g(⌊nx⌋)的取值是根号的，因此继续化下式子。

　　ans=∑x=1ng(⌊nx⌋)x2∑d|xdμ(xd)

　　令f(x)=x2∑d|xdμ(xd)

　　显然我们要预处理这个东西的前缀和才能做这道题，而且肯定是需要低于线性的算法（那就很可能是杜教筛了）。

　　这个东西很难看出什么门道，我们显然需要用狄利克雷卷积的运算律给他化简下。

　　令h(i)=i

　　f(x)=x2(h∗μ)(x)

　　为了好看先把x2拿掉，我们看到里面有个μ，于是非常好奇地卷个1

　　h∗μ∗1=h∗(μ∗1)=h∗ϵ=h

　　咦？

　　也就是说(h∗μ)∗1=h

　　这不就是φ吗，φ∗1=h啊

　　太神奇了（是我知道的太少了）

　　所以f(x)=x2φ(x)

　　这个东西怎么杜教筛啊，卷啥呀

　　冥思苦想了半天，还是搞出来了，令h2(x)=x2

　　那么(f∗h2)(x)=∑d|xf(x)h2(xd)=∑d|xd2φ(d)x2d2=x2∑d|xφ(x)=x3

　这样一个优美的结论着实令我惊讶。
　　　　　　　　　　　　　　————引用自pty

　　令s(n)=∑ni=1f(x)

　　则h2(1)s(n)=∑i=1n(f∗h2)(i)−∑i=2nh2(i)s(⌊ni⌋)s(n)=∑i=1ni3−∑i=2nh2(i)s(⌊ni⌋)

　　然后你就不能挡我用杜教筛了。

　　你问我复杂度？

　　大概O(N12×N12×23)=O(N56)

　　确实比较玄学。

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define maxn 4700000
#define ll long long
using namespace std;
ll N, p, prime[maxn], phi[maxn], f[maxn], s2[maxn], inv;
bool mark[maxn];
inline ll pow(ll a, ll b, ll p)
{
ll ans=1, t=a;
for(;b;b>>=1,t=t*t%p)if(b&1)ans=ans*t%p;
return ans;
}
inline ll sqr(ll x){x%=p;return x*x%p;}
inline ll g(ll x){x%=p;return sqr((x*(1+x)>>1)%p);}
inline ll gets2(ll x)
{
if(x<maxn)return s2[x];
x%=p;
return x*(x+1)%p*(2*x+1)%p*inv%p;
}
void init()
{
ll i, j, d, x;
phi[1]=1;
for(i=2;i<maxn;i++)
{
if(!mark[i])prime[++*prime]=i, phi[i]=i-1;
for(j=1;i*prime[j]<maxn;j++)
{
mark[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]%p;break;}
phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]]%p;
}
}
for(i=1;i<maxn;i++)phi[i]=(phi[i]*sqr(i)%p+phi[i-1])%p;
for(i=1;i<maxn;i++)s2[i]=(s2[i-1]+i*i)%p;
}
ll getf(ll n){return n<maxn?phi
:f[N/n];}
void calc(ll n)
{
if(!n)return;
ll i, last, t=N/n;
if(n<maxn or f[t])return;
f[t]=g(n);
for(i=2;i<=n;i=last+1)
{
last=n/(n/i);
calc(n/i);
f[t]=(f[t]-(gets2(last)-gets2(i-1))*getf(n/i)%p)%p;
}
}
void solve()
{
ll ans=0, i, last, t;
for(i=1;i<=N;i=last+1)
{
last=N/(N/i);
calc(last);
calc(i-1);
ans=(ans+g(N/i)%p*((getf(last)-getf(i-1))%p)%p)%p;
}
printf("%lld",(ans+p)%p);
}
int main()
{
ll ans=0, x;
scanf("%lld%lld",&p,&N);
inv=pow(6,p-2,p);
init();
solve();
return 0;
}