【bzoj4883】棋盘上的守卫 题解

题目大意

在一个 n*m 的棋盘上要放置若干个守卫。每行必须恰好放置一个横向守卫，每列必须恰好放置一个纵向守卫。每个位置放置守卫的代价是 w[i][j]，且每个位置最多只能放置一个守卫，一个守卫不能同时兼顾行列的防御。请计算控制整个棋盘的最小代价。

n*m<=1e5， w<=1e9

解法1

首先考虑基本的网络流模型：

建两排点，第一排点有 n*m 个，代表每个格子；第二排点有 n+m 个，代表行和列。然后每个格子向其对应的行和列连容量为 1、费用为 w[i][j] 的边，跑最大权匹配。

据说 zkw 或者 km 什么的大力艹就过了？？？

解法2

考虑用贪心来模拟费用流。

费用流的本质是每次找一条最短的增广路。于是把边按照边权从小到大加入（我是指中间的边，连着源汇的不考虑），假设当前加入的边，权值为 w，左边是 x，它对应的行和列是 i 和 j。

我们维护第二排点的连通性，这里的连通性不是指原图的连通性，而是我另外弄了个并查集，一开始互不连通。如果我把上面的加入操作视作是给 i 和 j 连上一条边，那么这里的每一条边相当于是第一排的一个点，这个连通性就代表第二排点的匹配情况。假如连通性是一棵树，则连通块内必有一点没被匹配；假如连通性是一个图（我们限制他只能是环套树，即一棵树再连一条边），则连通块内所有点都能匹配。（相当于是把边分给点，环套树是可以分完的，而树会空出一个点）

那么对于一个加入操作我们分情况讨论：

1、i 和 j 不连通。那么并查集里面就把它们连起来。假如两个连通块都是树，或者一个树一个图，那当前的 w 就计入答案。

2、i 和 j 连通，连通情况为一棵树。那就把树更新为图，并把 w 计入答案。

3、i 和 j 连通，连通情况为一个图。啥也不干。

这样就用贪心代替费用流了。