排序（5）---堆排序

堆排序

堆有序：二叉树的每个结点都大于等于他的两个子结点，被称为堆有序。

二叉堆：是一组能够用堆有序的完全二叉树排序的元素，并在数组中按照层级储存。（不使用数组的第一个位置）

即：k的父结点为k/2;k的子结点为2k和2k+1。

堆中根结点也就是a[1]是二叉树的最大结点。

一棵大小为N的完全二叉树的高度为log2^N+1。

堆排序过程：

堆排序主要分为两部分：

一、是将数组构造为堆有序；

二、是下沉排序，即将堆末元素与堆首交换，然后输出新堆末元素，新堆首元素下沉。

代码：

template<typename Item>
void eaxh(Item &a, Item &b)
{
Item t = a;
a = b;
b = t;
}

template<typename Item>
void sink(vector<Item>&a, int k, int N)//下沉函数
{//(数组，下沉元素，数组长）
while (2 * k <= N)
{
int j = 2 * k;//子结点
if (j < N&&a[j] < a[j + 1])j++;//选择较大的子结点
if (a[k]>=a[j])break;
eaxh(a[k], a[j]);//下沉
k = j;
}
}

template<typename Item>
void heapsort(vector<Item>&a)//0位元素不接受排序
{
int N = a.size()-1;
for (int k = N / 2; k >= 1; k--)//堆有序
sink(a, k, N);
while (N > 1)//下沉排序
{
eaxh(a[1], a[N--]);
sink(a, 1, N);
}
}

改进：
下沉函数可以动过位移的方式回避交换函数

template<typename Item>
void sink(vector<Item>&a, int k, int N)//改进下沉函数
{//移位方式下沉元素
Item temp = a[k];//下沉元素
while (2 * k <= N)
{
int j = 2 * k;
if (j < N&&a[j] < a[j + 1])j++;
if (temp >= a[j])break;
a[k] = a[j];//移位
k = j;
}
a[k] = temp;//a[k]为末尾子结点
}

测试用例：

int main()
{
uniform_int_distribution<int> u(0, 100000);
default_random_engine e;
vector<int> a;
for (int i = 0; i <=1000000; ++i)
a.push_back(u(e));
heapsort(a);
//for (auto i = a.begin() + 1; i < a.end(); i++)//打印动态数组
//	  cout << *i <<" ";
//cout << endl;
cout << (double)clock() / CLOCKS_PER_SEC << endl;
cout << endl;
system("pause");
return 0;
}

测试结果：

堆排序测试结果：

算法|量级	10	100	1000	10000	100000	1000000
堆排序	0.104	0.104	0.109	0.168	0.722	7.418
改进	0.103	0.106	0.107	0.156	0.635	6.151

堆排序在排序复杂性的研究中有着重要的地位，因为他是我们所知的唯一能够同时最优化地利用空间和时间的方法——在最坏的情况下他也能保证使用~2NlgN次比较和恒定的额外时间。
但在现代系统中使用较少，因为他无法利用缓存。数组元素很少和相邻的其他元素进行比较，因此缓存未命中率要远远高于别的排序方式。