从归并排序到逆序对数目计算。

归并排序中“归并”的含义是将两个或两个以上的有序表组合成一个新的有序表。

归并过程参考下图：



2-路归并排序算法是基于分治的思想，先将含有n个元素的待排序表分成各n/2个元素的子表，对这个两个子表进行排序，这个是mergeSort()操作；再将排好序的两个子表合并成一个表，这个是merge()操作。

空间效率：merge()操作中，辅助空间占用n个单元，故其空间复杂度为O(n)；

时间效率：每一趟归并的时间复杂度为O(n)，共需进行log2(n)（向上取整）趟归并，所以算法时间复杂度为O(nlog2n)。

稳定性：merge操作不会改变相同关键字记录的相对次序，所以归并算法是一个稳定的排序算法。

2-路归并趟数计算：

第1趟结束后，归并段长度为2；

第2趟结束后，归并段长度为4；

第m趟结束后，归并段长度为2^m=n；

所以需要的趟数为：m=log2(n)（向上取整）。

k-路归并趟数计算：

第1趟结束后，归并段长度为k；

第2趟结束后，归并段长度为k^2；

第m趟结束后，归并段长度为k^m=n；

所以需要的趟数为：logk(n)（向上取整）。

逆序对数目计算：

观察归并排序——合并数列(1，3，5)与(2，4)的时候：

1．先取出前面数列中的1。

2．然后取出后面数列中的2，明显！这个2和前面的3，5都可以组成逆序数对即3和2，5和2都是逆序数对。

3．然后取出前面数列中的3。

4．然后取出后面数列中的4，同理，可知这个4和前面数列中的5可以组成一个逆序数对。

注意，只有在取到后面数列的时候才计算逆序对数目。归并排序的时间复杂度是O(N * LogN)，因此这种从归并排序到数列的逆序数对的解法的时间复杂度同样是O(N * LogN).

2-路归并排序以及逆序对数的计算Java代码如下：

// 归并排序的代码实现
public class MergeSort {
int count = 0; // 这个成员变量中会存放逆序数对的个数。
// 传入数组和其最大最小索引值。
public void mergeSort(int [] data,int low,int high){
if(low < high){ // 递归结束条件，当数组只有一个值时，不再进行。
int mid = (low+high)/2;
mergeSort(data,low,mid);
mergeSort(data,mid+1,high);
merge(data,low,mid,high);
}
}

// merge()的功能是将前后相邻的两个有序表归并成一个有序表。
private void merge(int[] data, int low, int mid, int high) {
// TODO Auto-generated method stub
int [] temp = new int[high-low+1];

int i=0,j=0,k=0;

for(i = low,j = mid+1,k=0;i <= mid && j <= high;k++ ){
if(data[i] <= data[j]){
temp[k] = data[i++];
}else{
count += mid-i+1; // 计算逆序数对只需要在归并排序的基础上添加这一行代码即可。
temp[k] = data[j++];
}
}

while(i <= mid) temp[k++] = data[i++];
while(j <= high) temp[k++] = data[j++];

i = 0;
j = low;
while(i < temp.length) data[j++] = temp[i++];
}
}

参考：http://blog.csdn.net/morewindows/article/details/8029996