NYOJ - 311 - 完全背包(背包问题)
2017-05-03 19:33
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Problem Description
直接说题意,完全背包定义有N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用。第i种物品的体积是c,价值是w。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量,且价值总和最大。本题要求是背包恰好装满背包时,求出最大价值总和是多少。如果不能恰好装满背包,输出NO
Input第一行: N 表示有多少组测试数据(N<7)。接下来每组测试数据的第一行有两个整数M,V。 M表示物品种类的数目,V表示背包的总容量。(0<M<=2000,0<V<=50000)接下来的M行每行有两个整数c,w分别表示每种物品的重量和价值(0<c<100000,0<w<100000)
Output对应每组测试数据输出结果(如果能恰好装满背包,输出装满背包时背包内物品的最大价值总和。 如果不能恰好装满背包,输出NO)
Sample Input
Sample Output
题目思路
完全背包问题,完全背包不同于01背包的地方是物品有无限个。一般的完全背包问题会问在一定容量背包中所能达到的最大价值。这道题目要求的虽然也是背包中的最大价值,但是有一个前提是背包被装满。可以肯定的是,当背包中物品达到最大价值时,背包不一定装满。而背包装满也不一定是最大价值。这里用到了一个技巧。初始化dp[0] 为0,其余都为较大的负数。dp[j]表示的是背包容量为j时,能达到的最大价值(前提是背包装满)。状态转移方程还是一样的dp[j] = max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]),试想,如果该背包能被装满,即j-v[i]
= k*v[i](0<=k<=c/v[i]) 。由状态转移方程的方向,我们可以确定能装满的背包的价值都不为负数。举个例子题目中的
体积 价值
物品1: 2 2
物品2: 5 1
dp[0] = 0;
dp[2] = max(dp[2], dp[2-2]+2) = 2; dp[3] = max(dp[3], dp[3-2]+2) = -inf+2; dp[4] = max(dp[4], dp[4-2]+2) = 4; dp[5] = -inf+4
dp[5] = max(dp[5], dp[5-5]+1) = 1;
因此,如果能装满,那么我们所求出的数一定是非负数。否则无法装满,则输出NO。
题目代码
直接说题意,完全背包定义有N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用。第i种物品的体积是c,价值是w。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量,且价值总和最大。本题要求是背包恰好装满背包时,求出最大价值总和是多少。如果不能恰好装满背包,输出NO
Input第一行: N 表示有多少组测试数据(N<7)。接下来每组测试数据的第一行有两个整数M,V。 M表示物品种类的数目,V表示背包的总容量。(0<M<=2000,0<V<=50000)接下来的M行每行有两个整数c,w分别表示每种物品的重量和价值(0<c<100000,0<w<100000)
Output对应每组测试数据输出结果(如果能恰好装满背包,输出装满背包时背包内物品的最大价值总和。 如果不能恰好装满背包,输出NO)
Sample Input
2 1 5 2 2 2 5 2 2 5 1
Sample Output
NO 1
题目思路
完全背包问题,完全背包不同于01背包的地方是物品有无限个。一般的完全背包问题会问在一定容量背包中所能达到的最大价值。这道题目要求的虽然也是背包中的最大价值,但是有一个前提是背包被装满。可以肯定的是,当背包中物品达到最大价值时,背包不一定装满。而背包装满也不一定是最大价值。这里用到了一个技巧。初始化dp[0] 为0,其余都为较大的负数。dp[j]表示的是背包容量为j时,能达到的最大价值(前提是背包装满)。状态转移方程还是一样的dp[j] = max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]),试想,如果该背包能被装满,即j-v[i]
= k*v[i](0<=k<=c/v[i]) 。由状态转移方程的方向,我们可以确定能装满的背包的价值都不为负数。举个例子题目中的
体积 价值
物品1: 2 2
物品2: 5 1
dp[0] = 0;
dp[2] = max(dp[2], dp[2-2]+2) = 2; dp[3] = max(dp[3], dp[3-2]+2) = -inf+2; dp[4] = max(dp[4], dp[4-2]+2) = 4; dp[5] = -inf+4
dp[5] = max(dp[5], dp[5-5]+1) = 1;
因此,如果能装满,那么我们所求出的数一定是非负数。否则无法装满,则输出NO。
题目代码
#include <cstdio> #include <iostream> #include <map> #include <set> #include <vector> #include <cmath> #include <string> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; int n, v, N; int c[2005], w[2005]; int dp[50005]; int main(){ scanf("%d",&N); while(N--){ scanf("%d%d",&n,&v); for(int i = 0; i <= 50005; i++) dp[i] = -1000000; dp[0] = 0; // 注意这里 for(int i = 0; i < n; i++){ scanf("%d%d",&c[i],&w[i]); } for(int i = 0; i < n; i++){ for(int j = c[i]; j <= v; j++){ dp[j] = max(dp[j], dp[j-c[i]]+w[i]); } } if(dp[v] < 0) puts("NO"); else printf("%d\n",dp[v]); } return 0; }
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