bzoj 4872: [Shoi2017]分手是祝愿 期望dp

题意

B 君在玩一个游戏，这个游戏由 n 个灯和 n 个开关组成，给定这 n 个灯的初始状态，下标为

从 1 到 n 的正整数。每个灯有两个状态亮和灭，我们用 1 来表示这个灯是亮的，用 0 表示这个灯是灭的，游戏的目标是使所有灯都灭掉。但是当操作第 i 个开关时，所有编号为 i 的约数（包括 1 和 i）的灯的状态都会被改变，即从亮变成灭，或者是从灭变成亮。B 君发现这个游戏很难，于是想到了这样的一个策略，每次等概率随机操作一个开关，直到所有灯都灭掉。这个策略需要的操作次数很多， B 君想到这样的一个优化。如果当前局面，可以通过操作小于等于 k 个开关使所有灯都灭掉，那么他将不再随机，直接选择操作次数最小的操作方法（这个策略显然小于等于 k 步）操作这些开关。B 君想知道按照这个策略（也就是先随机操作，最后小于等于 k 步，使用操作次数最小的操作方法）的操作次数的期望。这个期望可能很大，但是 B 君发现这个期望乘以 n 的阶乘一定是整数，所以他只需要知道这个整数对 100003 取模之后的结果。

1 ≤ n ≤ 100000, 0 ≤ k ≤ n；

分析

首先要知道怎么达到最优状态。

可以从后往前，碰到一个1就翻转，一直到全部为0位置。可以证明这样一定是最优的。

还可以注意到一个灯的操作不能被其他灯所代替，所以我们可以设f[i]表示最优答案由i转到i-1的期望步数。

显然f[i]=in+n−in(f[i+1]+f[i]+1)

化简得到f[i]=n+(n−i)∗f[i+1]i

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N=100005;
const int MOD=100003;

int n,m,vis
,f
;

int ksm(int x,int y)
{
int ans=1;
while (y)
{
if (y&1) ans=(LL)ans*x%MOD;
x=(LL)x*x%MOD;y>>=1;
}
return ans;
}

int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&vis[i]);
int num=0;
for (int i=n;i>=1;i--)
if (vis[i])
{
num++;
for (int j=1;j*j<=i;j++)
if (i%j==0)
{
vis[j]^=1;
if (i/j!=j) vis[i/j]^=1;
}
}
for (int i=n;i>=1;i--)
f[i]=(LL)(n+(LL)(n-i)*f[i+1]%MOD)*ksm(i,MOD-2)%MOD;
int ans=0;
if (num<=m) ans=num;
else
{
for (int i=num;i>m;i--) ans=(ans+f[i])%MOD;
ans=(ans+m)%MOD;
}
for (int i=1;i<=n;i++) ans=(LL)ans*i%MOD;
printf("%d",ans);
return 0;
}