NYOJ 一笔画问题（判断存在欧拉通路）

一笔画问题

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难度：4
http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=42

描述

zyc从小就比较喜欢玩一些小游戏，其中就包括画一笔画，他想请你帮他写一个程序，判断一个图是否能够用一笔画下来。

规定，所有的边都只能画一次，不能重复画。

 

输入第一行只有一个正整数N(N<=10)表示测试数据的组数。

每组测试数据的第一行有两个正整数P,Q(P<=1000,Q<=2000)，分别表示这个画中有多少个顶点和多少条连线。（点的编号从1到P）

随后的Q行，每行有两个正整数A,B(0<A,B<P)，表示编号为A和B的两点之间有连线。
输出如果存在符合条件的连线，则输出"Yes",

如果不存在符合条件的连线，输出"No"。
样例输入

2
4 3
1 2
1 3
1 4
4 5
1 2
2 3
1 3
1 4
3 4

样例输出

No
Yes

一笔画问题是典型的判断欧拉通路是否存在的问题。

欧拉通路：通过图中每一条边且只通过一次，并且经过每一个节点的通路。（和题目的意思对应，给出P个点Q条边，所有边只画一次把所有点都连接起来）。

欧拉回路：通过图中每一条边且只通过一次，并且经过每一个节点的回路。

此题目是无向图，只让判断欧拉通路是否存在，并不需要输出欧拉路径，因此还是比较简单的。

下面是无向图定理：

无向图定理：无向图G存在欧拉通路的必要条件是：G为连通图（用并查集判断图是否连通），并且G仅有两个奇度节点（度数为奇数的节点）或者无奇度节点。

从而引出下面三条推论：

推论：

1.   当G时仅有两个奇度节点的连通图时，图G的欧拉通路必以此两个节点为端点。

2.   当图G是无奇度节点的连通图时，G必有欧拉回路。（欧拉回路存在，欧拉通路必存在）。

3.   G为欧拉图（存在欧拉回路）的充分必要条件是G为无奇度节点的连通图。

无论求欧拉回路还是欧拉通路，首先图G必须是连通的。这一点可以用并查集去判断，进行并查集之后，最后只有一个节点所属于的集合是自己，则图是连通的，

否则图不是连通的。

接下来就是统计每个顶点的度数。然后统计奇度节点的个数，如果有两个或零个，则存在欧拉通路，可以解决一笔画问题。

否则，不存在欧拉通路，则此题无解。

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<string.h>
#define PI 3.1415926

using namespace std;

const int maxn = 1003;
int P,Q; ///P为顶点数，Q为边数
int degree[maxn]; ///存放每个节点的度数
int father[maxn]; ///进行并查集操作的数组
void make_set()
{
for(int i = 1; i <= P; i++)
{
father[i] = i;
}
}
int find_set(int x)
{
while(x!=father[x])
{
x = father[x];
}
return x;
}
void union_set(int x,int y)
{
father[x] = y;
}
bool IsConnection() ///判图是否连通
{
int num = 0;
for(int i = 1; i <= P; i++)
{
if(father[i]==i) ///自己所属集合是自己点只能有一个
num++;
}
if(num == 1) return true;
else return false;
}
int main()
{
int N,A,B;
cin>>N;
while(N--)
{
cin>>P>>Q;
memset(degree,0,sizeof(degree));
make_set(); ///初始化并查集
for(int i = 0; i < Q; i++)
{
scanf("%d%d",&A,&B);
degree[A]++;
degree[B]++;
int fa = find_set(A);
int fb = find_set(B);
if(fa!=fb)
union_set(fa,fb);
}
int num = 0;
for(int i = 1; i <= P; i++)
{
if(degree[i]%2) ///统计奇度节点的个数
num++;
}
///如果奇度节点的个数是0个或2个，且图是连通的则存在欧拉通路
if((num==0||num==2)&&IsConnection())
cout<<"Yes"<<endl;
else
cout<<"No"<<endl;
}
return 0;
}