《算法导论》第2章 算法基础 个人笔记

第2章 算法基础

2.1 插入排序

INSERTION-SORT(A)
for j = 2 to A.length
key = A[j]
i = j - 1
while i > 0 and A[i] > key
A[i+1] = A[i]
i--
A[i+1] = key

2.2 分析算法

在INSERTION-SORT中，若输入数组已排好序，则出现最佳情况，T(n)=Θ(n)

若输入数组已反向排序，则导致最坏情况，T(n)=Θ(n2)

2.3 分治法–归并算法

分治模式在每层递归时都有三个步骤：

分解原问题为若干个子问题

解决这些子问题

合并这些子问题

归并算法完全遵循分治模式：

MERGE(A, p, q, r)
n1 = q - p + 1
n2 = r - q
let L[1..n1+1] and R[1..n2+1] be new arrays
for i = 1 to n1
L[i] = A[p + i - 1]
L[n1 + 1] = MAX
for j = 1 to n2
L[j] = A[q + j]
R[n2 + 1] = MAX
i = 1
j = 1
for k = p to r
if L[i] <=R[j]
A[k] = L[i]
i++
else
A[k] = R[j]
j++

MERGE-SORT(A, p r)
if p < r
q = (p + r) / 2
MERGE-SORT(A, p q)
MERGE-SORT(A, q + 1, r)
MERGE(A, p, q, r)

复杂度分析：

每一个MERGE的复杂度是(r-p+1)，即输入规模，用结果递归树表示



第 i 层具有2i 个节点，每个节点贡献代价c(n
c66e
/2i)，所以第 i 层具有总代价2i∗c(n/2i)=cn，递归树总层数为lgn+1。故总代价为cn(lgn+1)=cnlgn+cn，忽略低阶项和常量c便给出了期望的结果Θ(nlgn)