SVD奇异值分解详解

奇异值分解(Singular Value Decomposition，以下简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法，它不光可以用于降维算法中的特征分解，还可以用于推荐系统，以及自然语言处理等领域。是很多机器学习算法的基石。本文就对SVD的原理做一个总结，并讨论在在PCA降维算法中是如何运用运用SVD的。

1. 回顾特征值和特征向量

　　　　我们首先回顾下特征值和特征向量的定义如下：

Ax=λx
　　　　其中A是一个n×n

的矩阵，x是一个n维向量，则我们说λ是矩阵A的一个特征值，而x是矩阵A的特征值λ
所对应的特征向量。

　　　　求出特征值和特征向量有什么好处呢？ 就是我们可以将矩阵A特征分解。如果我们求出了矩阵A的n

个特征值λ1≤λ2≤...≤λn,以及这n个特征值所对应的特征向量{w1,w2,...wn}，那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示：
A=WΣW−1
　　　　其中W是这n

个特征向量所张成的n×n维矩阵，而Σ为这n个特征值为主对角线的n×n
维矩阵。

　　　　一般我们会把W的这n

个特征向量标准化，即满足||wi||2=1,
或者说wTiwi=1，此时W的n个特征向量为标准正交基，满足WTW=I，即WT=W−1
, 也就是说W为酉矩阵。

　　　　这样我们的特征分解表达式可以写成

A=WΣWT
　　　　注意到要进行特征分解，矩阵A必须为方阵。那么如果A不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以，此时我们的SVD登场了。

2. SVD的定义

　　　　SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个m×n

的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为：
A=UΣVT
　　　　其中U是一个m×m

的矩阵，Σ是一个m×n的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值，V是一个n×n的矩阵。U和V都是酉矩阵，即满足UTU=I,VTV=I
。下图可以很形象的看出上面SVD的定义：



　　　　那么我们如何求出SVD分解后的U,Σ,V

这三个矩阵呢？

　　　　如果我们将A的转置和A做矩阵乘法，那么会得到n×n

的一个方阵ATA。既然ATA是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：
(ATA)vi=λivi
　　　　这样我们就可以得到矩阵ATA

的n个特征值和对应的n个特征向量v了。将ATA的所有特征向量张成一个n×n
的矩阵V，就是我们SVD公式里面的V矩阵了。一般我们将V中的每个特征向量叫做A的右奇异向量。

　　　　如果我们将A和A的转置做矩阵乘法，那么会得到m×m

的一个方阵AAT。既然AAT是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：
(ATA)ui=λiui
　　　　这样我们就可以得到矩阵AAT

的m个特征值和对应的m个特征向量u了。将AAT的所有特征向量张成一个m×m
的矩阵U，就是我们SVD公式里面的U矩阵了。一般我们将U中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。

　　　　U和V我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵Σ

没有求出了。由于Σ除了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只需要求出每个奇异值σ
就可以了。

　　　　我们注意到:

A=UΣVT⇒AV=UΣVTV⇒AV=UΣ⇒Avi=σiui⇒σi=Avi/ui
　　　 这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵Σ

。

　　　 上面还有一个问题没有讲，就是我们说ATA

的特征向量组成的就是我们SVD中的V矩阵，而AAT的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵，这有什么根据吗？这个其实很容易证明，我们以V矩阵的证明为例。
A=UΣVT⇒AT=VΣUT⇒ATA=VΣUTUΣVT=VΣ2VT
　　　　上式证明使用了:UTU=I,ΣT=Σ。

可以看出ATA的特征向量组成的的确就是我们SVD中的V矩阵。类似的方法可以得到AAT
的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵。

　　　　进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系：

σi=λi−−√
　　　　这样也就是说，我们可以不用σi=Avi/ui

来计算奇异值，也可以通过求出ATA
的特征值取平方根来求奇异值。

3. SVD计算举例

　　　　这里我们用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。我们的矩阵A定义为：

A=⎛⎝⎜011110⎞⎠⎟
　　　　我们首先求出ATA

和AAT

ATA=(011110)⎛⎝⎜011110⎞⎠⎟=(2112)

AAT=⎛⎝⎜011110⎞⎠⎟(011110)=⎛⎝⎜110121011⎞⎠⎟
　　　　进而求出ATA

的特征值和特征向量：
λ1=3;v1=(1/2√1/2√);λ2=1;v2=(−1/2√1/2√)
　　　　接着求AAT

的特征值和特征向量：

λ1=3;u1=⎛⎝⎜1/6√2/6√1/6√⎞⎠⎟;λ2=1;u2=⎛⎝⎜1/2√0−1/2√⎞⎠⎟;λ3=0;u3=⎛⎝⎜1/3√−1/3√1/3√⎞⎠⎟
　

　　　　利用Avi=σiui,i=1,2

求奇异值：

⎛⎝⎜011110⎞⎠⎟(1/2√1/2√)=σ1⎛⎝⎜1/6√2/6√1/6√⎞⎠⎟⇒σ1=3√

⎛⎝⎜011110⎞⎠⎟(−1/2√1/2√)=σ2⎛⎝⎜1/2√0−1/2√⎞⎠⎟⇒σ2=1
当然，我们也可以用σi=λi−−√

直接求出奇异值为3√
和1.

最终得到A的奇异值分解为：

A=UΣVT=⎛⎝⎜1/6√2/6√1/6√1/2√0−1/2√1/3√−1/3√1/3√⎞⎠⎟⎛⎝⎜3√00010⎞⎠⎟(1/2√−1/2√1/2√1/2√)
　　　　　　

4. SVD的一些性质　

　　　　上面几节我们对SVD的定义和计算做了详细的描述，似乎看不出我们费这么大的力气做SVD有什么好处。那么SVD有什么重要的性质值得我们注意呢？

　　　　对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。也就是说：

Am×n=Um×mΣm×nVTn×n≈Um×kΣk×kVTk×n
　　　　其中k要比n小很多，也就是一个大的矩阵A可以用三个小的矩阵Um×k,Σk×k,VTk×n

来表示。如下图所示，现在我们的矩阵A只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了。



　　　　由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。下面我们就对SVD用于PCA降维做一个介绍。

5. SVD用于PCA

　　　　在主成分分析（PCA）原理总结中，我们讲到要用PCA降维，需要找到样本协方差矩阵XTX

的最大的d个特征向量，然后用这最大的d个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出，在这个过程中需要先求出协方差矩阵XTX
，当样本数多样本特征数也多的时候，这个计算量是很大的。

　　　　注意到我们的SVD也可以得到协方差矩阵XTX

最大的d个特征向量张成的矩阵，但是SVD有个好处，有一些SVD的实现算法可以不求先求出协方差矩阵XTX，也能求出我们的右奇异矩阵V
。也就是说，我们的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。实际上，scikit-learn的PCA算法的背后真正的实现就是用的SVD，而不是我们我们认为的暴力特征分解。

　　　　另一方面，注意到PCA仅仅使用了我们SVD的右奇异矩阵，没有使用左奇异矩阵，那么左奇异矩阵有什么用呢？

　　　　假设我们的样本是m×n

的矩阵X，如果我们通过SVD找到了矩阵XXT最大的d个特征向量张成的m×d维矩阵U，则我们如果进行如下处理：
X′d×n=UTd×mXm×n
　　　　可以得到一个d×n

的矩阵X‘,这个矩阵和我们原来的m×n维样本矩阵X相比，行数从m减到了k，可见对行数进行了压缩。也就是说，左奇异矩阵可以用于行数的压缩。相对的，右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是我们的PCA降维。