BZOJ 1426: 收集邮票 期望DP,数学推导

Description

有n种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且买到的邮票究竟是n种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为1/n。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第k张邮票需要支付k元钱。 现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。

Input

一行,一个数字N N<=10000

Output

要付出多少钱. 保留二位小数

Sample Input

3

Sample Output

21.25

解法1：来自hzwer神牛的解法，概率DP还可以这样玩啊。。

用f[i]表示已经拥有了i张邮票，则期望还需要购买的邮票数

则f[n]=0

f[i]=f[i]∗(i/n)+f[i+1]∗((n−i)/n)+1

整理得f[i]=f[i+1]+n/(n−i)

设g[i]为还需要的钱

g[i]=((n−i)/n)∗(g[i+1]+f[i+1])+(i/n)∗(g[i]+f[i])+1

因为可以视为这张票是1元买的，而后面的每张票都贵了1元

所以要加上f[i+1]或f[i]

然后化简得

(g[i]=((n−i)/n)∗(g[i+1]+f[i+1])+(i/n)∗f[i]+1)/(1−i/n)

然后O(n)倒着递推即可。

///BZOJ 1426

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 10010;
double n, f[maxn], g[maxn];
///f[i]表示已经拥有了i张邮票，则期望还需要购买的邮票数
///设g[i]为还需要的钱
///f[i]=f[i]*(i/n)+f[i+1]*((n-i)/n)+1 && f
= 0
///g[i]=((n-i)/n)*(g[i+1]+f[i+1])+(i/n)*(g[i]+f[i])+1
int main()
{
scanf("%lf", &n);
for(int i=n-1; i>=0; i--) f[i]=f[i+1]+n/(n-i);
for(int i=n-1; i>=0; i--) g[i]=(((n-i)/n)*(g[i+1]+f[i+1])+(i/n)*f[i]+1)/(1-i/n);
printf("%.2f\n", g[0]);
return 0;
}

第二种方法，表示数学渣已跪。

看了一晚上这个博客，总算自己也推导明了。注意博客里说到错位详减那个地方还要取极限。

http://blog.csdn.net/braketbn/article/details/51024591