【洛谷P3370】【NOIP2013】 火柴排队

链接 https://www.luogu.org/problem/show?pid=1966

题意：两个长度为n的数组a,b ,每次调换一个数组中的两个数，使得∑(a[i]-b[i])^2最小，求最小移动次数

题解：

可以对所求的式子进行简单的等价变形

即∑(a[i]-b[i])^2)=∑a^2+∑b^2-2*∑ai*bi

显然a的平方和与b的平方和是一个定值，所以就是要使∑ai*bi最大

根据排序不等式，同序积>=乱序积>=逆序积

所以现在的目的就是让a中第i大的元素和b中第i大的元素处于同一位置

在交换的过程中，移动a其实是和移动b等价的，所以我们可以看成将a移动至与b同序

我们“很自然的”发现这样的交换是类似于逆序对的（hhh并没有发现）

实际上交换次数恰好等于逆序对数（证明详见线性代数）

但我们又发现b是无序的，怎么办呢？

只需要重新定义比较大小的方式就可以了

具体实现的时候需要离散化

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define Maxn 100011
#define Maxm 99999997
using namespace std;
int tot[Maxn],n,tree[Maxn];
struct disrect
{
int v,pos;
}aa[Maxn],bb[Maxn];
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
void add(int pos)
{
for(int i=pos;i<=n;i+=lowbit(i))    tree[i]++;
}
int sum(int pos)
{
int abc=0;
for(int i=pos;i;i-=lowbit(i)) abc+=tree[i];
return abc;
}
bool cmp(disrect a,disrect b)
{   return a.v<b.v; }
int main()
{
int ans=0;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)   scanf("%d",&aa[i].v),aa[i].pos=i;
for(int i=1;i<=n;i++)   scanf("%d",&bb[i].v),bb[i].pos=i;
sort(aa+1,aa+n+1,cmp);
sort(bb+1,bb+n+1,cmp);
for(int i=1;i<=n;i++)   tot[aa[i].pos]=bb[i].pos;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
add(tot[i]);
ans+=i-sum(tot[i]);
ans%=Maxm;
}
printf("%d",ans);
return 0;
}

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