佩尔（Pell）方程

,当D不是完全平方数时，方程有无穷多个整数解。

假设方程的特解是(x0,y0)，则方程的通解是








于是可以得到递推式：



例题1：HDU2281 Square Number

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2281

12+22+……+n2= n(n+1)(2n+1)/6

将x2=n(n+1)(2n+1)/6/n进行化简，配方，移项，得到：

(4n+3)2-48x2=1

设m = 4n+3，得到m2-48x2=1，这是佩尔方程

容易得到该方程的最小正整数解m=7, x = 1

将这组解代入上面的递推式就可以得到所有的解。不过由于m=4n+3，所以得到m’后要判断一下(m’-3)%4 == 0是否成立。

 

例题2：UVa138

假设所在的房子编号为k，总的房子数为n，按照题目意思，应满足：

1+2+……+(k-1) = (k+1) + (k+2) +……+ n

整理得到：

(2n+1)2-2(2k)2=1

设x=2n+1(x>=3)，y=2k(y>=2)，得到x2-2y2=1，这是佩尔方程

容易得到该方程的最小正整数解x0=3, y0 = 2。

同样用上面的递推式可以得到其他解，当然，解的大小也要满足少于n。