BZOJ 2440: [中山市选2011]完全平方数 二分答案 + 容斥原理 + 莫比乌斯反演

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2440

第一道莫比乌斯反演的题目。

二分答案 + 容斥那里还是挺好想的。

二分一个答案val，需要[1, val]之间存在的合法数字个数 >= k即可。

怎么判断呢？可以容斥，开始的时候有ans = val个，但是这里明显有些数字不符合。

ans -= ([1...val]中有多少个2^2倍 + [1...val]中有多少个3^2倍 + [1...val]中有多少个5^2倍) ......

但是减重复了，比如减去了2^2倍的，减去了3^2倍的，36就被减去了两次。

这个时候就要加回来。所以就要求出sqrt(val)之间有多少个素数，然后暴力dfs每一个素数选不选，一共选了多少个。

但是这样铁定超时啊，复杂度2^k（k为小于等于sqrt(val)中有多少个素数）

然后学了个新姿势Mobius反演。

具体东西如下：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <assert.h>
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
using namespace std;
#define inf (0x3f3f3f3f)
typedef long long int LL;

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <bitset>
const int maxn = 1e6 + 20;
int prime[maxn];//这个记得用int，他保存的是质数，可以不用开maxn那么大
bool check[maxn];
int total;
int mu[maxn];
void initprime() {
mu[1] = 1; //固定的
for (int i = 2; i <= maxn - 20; i++) {
if (!check[i]) { //是质数了
prime[++total] = i; //只能这样记录，因为后面要用
mu[i] = -1; //质因数分解个数为奇数
}
for (int j = 1; j <= total; j++) { //质数或者合数都进行的
if (i * prime[j] > maxn - 20) break;
check[i * prime[j]] = 1;
if (i % prime[j] == 0) {
mu[prime[j] * i] = 0;
break;
}
mu[prime[j] * i] = -mu[i];
//关键，使得它只被最小的质数筛去。例如i等于6的时候。
//当时的质数只有2,3,5。6和2结合筛去了12，就break了
//18留下等9的时候，9*2=18筛去
}
}
return ;
}
int k;
bool isok(LL val) {
LL ans = val;
for (LL i = 2; i * i <= val; ++i) {
ans += mu[i] * (val / (i * i));
}
return ans >= k;
}
void work() {
scanf("%d", &k);
LL be = 1, en = 2e9;
while (be <= en) {
LL mid = (be + en) >> 1;
//        cout << mid << endl;
if (isok(mid)) {
en = mid - 1;
} else be = mid + 1;
}
printf("%d\n", be);
}

int main() {
#ifdef local
freopen("data.txt", "r", stdin);
//    freopen("data.txt", "w", stdout);
#endif
initprime();
//    for (int i = 1; i <= 20; ++i) {
//        cout << mu[i] << "，";
//    }
int t;
scanf("%d", &t);
while (t--) work();
return 0;
}

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