拉普拉斯算子从笛卡尔坐标系到圆柱坐标系下的推导过程

这段时间推导圆膜振动方程的时候，需要将振动方程从笛卡尔坐标系转换到圆柱坐标系。虽然这个结果书上都有了，但是不满足于直接给出的结果，想自己推导一下。于是就有了下面的内容。总结起来：就是将笛卡尔坐标系下的拉普拉斯算子定义式和圆柱坐标系下拉普拉斯算子定义式之间的关系通过坐标转换对应起来，然后利用待定系数法求解相应的系数就可以了。话不多说，上干货。

笛卡尔坐标系下的拉普拉斯算子定义为：


（2-1）

圆柱坐标系与笛卡尔坐标系的关系如图1所示：



笛卡尔坐标系与圆柱坐标系的坐标转换关系为：


（2-2）

对上式中的两个变量求取一阶和二阶偏微分：


（2-3）


（2-4）


（2-5）（2-6）


（2-7）


（2-8）





同样的方法可以得到笛卡尔坐标同任何坐标系下的拉普拉斯算子的转换关系。

这里从wiki上直接附上三维的结果。