Poj - 1061 - 青蛙的约会（扩展欧几里德）

题目描述：

Description
两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。

我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input
输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。
Output
输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"
Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

题目思路：

假设跳T次能够相遇，那么T次后青蛙A在位置x+mT ，B青蛙在位置 y+nT 。得到等式 (x+mT) - (y+nT) = kL (k位任意整数)。经过变形得到(n-m)T + kL = x-y。 根据扩展欧几里德算法可以求出 (n-m)T + kL = gcd(n-m, k) 的解。根据这个求出特解，找出最小解即可。

题目代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define LL long long
using namespace std;

LL x, y, m, n, l;

LL gcd(LL a, LL b){
return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}

void exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y){
if(b == 0){ x = 1; y = 0; return ;}
exgcd(b, a%b, x, y);
LL t = x; x = y; y = t-a/b*y;
}

int main(){
// freopen("input.txt", "r" , stdin);
scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);
LL a = n-m, b = l, c = x - y;

LL d = gcd(a,b);
if(c % d) puts("Impossible\n");

else{
LL x1,y1;
a/=d; b/=d; c/=d;
exgcd(a,b,x1,y1);

x1 = ((c*x1)%b+b)%b;
if(!x1) x1+=b;
printf("%lld\n",x1);
}

return 0;
}