关于Fibonacci博弈的一些学习
2017-04-25 22:15
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关于Fibonacci博弈的一些学习
一道例题
问题
给定n(n≥2)个石头,游戏双方轮流取至少一个石子,取到最后一个石子的人算赢,但是要满足一下规则:第一次取不能全部取完所有的石子。
设前一次取的石子数为m,这次取的石子的数量不能超过2m。
问先手是否有必胜策略。
分析
当时看到这道题(当时看的还是加强版)的时候第一反应是设计DP。计fi,j为还剩下i 个石头,取的上限为j时是否有必胜策略。然后依题意DP或记忆化搜索转移即可。
然而这样显然是不能通过本题的,因为数据范围比较大。
这里引(bai)入(du)一个结论:
如果n是一个斐波那契数,那么一定是必败态(与上限无关,只要不能直接全部取完)。
我们来考虑用数学归纳法来证明:
我们设n=fibi。
当n=2时,先手只能取一个,后手一定可以取到最后一个,所以必败。
当n>2时,我们假设i≤k时,结论都成立。那么只要证i=k+1时结论成立。
根据Fibonacci数列的定义:fibk+1=fibk+fibk−1 ,我们可以把fibk+1堆石子分为fibk和fibk−1两堆。
设先手取的石子数为x。为了方便起见,我们称数量为fibi的石子为第i组。
我们分两种情况来讨论:
若x<fibk−1
那么此时我们就可以先递归到k−1 的时候去考虑,
因为我们之前假设过i≤k 时都成立,
所以此时后手肯定可以取到k−1的最后一个石子。
然后此时就剩下了fibk 堆石子。
此时只要证明不论在k−1那堆里面怎么取,取到k那堆时的上限都不会超过fibk。(这样子的话情况就可以变为k堆的情况,由于前面我们的假设所以它就是成立的。)
我们使用反证法来证明。
我们先假设存在一种情况使得后手取完k−1堆里的最后一个石子之后,先手可以一次性取完k堆里的所有石子。
那么我们设后手在k−1里的最后一次取完时的数量为y。y要满足的条件是y≥fibk2 。
剩下的那一堆的数量为fibk−1−y 。要使得y尽可能地大,前一次取的石子也得尽可能地大,所以我们假设剩下的全取。那么就得满足y≤2(fibk−1−y) (游戏规则)。
将上面那个式子拆开:y≤2fibk−1−2y, 移项:y≤23fibk−1 。
联立上面的两个不等式:
{y≥fibk2y≤23fibk−1
所以只要证不存在这样的y,即23fibk−1<fibk2 。
继续化简:fibk>43fibk−1
把fibk 拆掉然后再把fibk−1移过去:fibk−2>13fibk−1
上面那个式子可能再用个归纳法什么的应该能证吧。。。由于篇(懒)幅(癌)问(发)题(作)我就不具体证明了。。。(其实大家写几项应该也能看的出来吧)
假装我们证完了上面那个式子以后,那么原命题也就得证了。
若x≥fibk−1
那么后手就可以直接取完。考虑证明:
我们要证的是:2x≥fibk。
只要证:2fibk−1≥fibk (进行一些放缩)
只要证:fibk−1≥fibk−2
∵Fibonacci数列是一个递增的数列
∴fibk−1≥fibk−2
以上步步可逆,所以原命题得证。
综上所述,当n为Fibonacci数时,先手处于必败态。
那么对于不是Fibonacci的数呢?我们引入一个定理:
“Zeckendorf定理”(齐肯多夫定理):任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。
具体地来说,就是对于一个不是Fibonacci数的数x,可以写成
x=fiba1+fiba2+...+fiban(a2−a1>1,a3−a2>1,...,an−an−1>1) 的形式。
打个比方,x=28可以写成28=21+5+2的形式。
所以先手可以先把最小的那一堆全部取掉,
∵ai−ai−1>1(i>1)
∴fibai>2fibai−1
所以对于每一堆来说都是完全独立的游戏,并且对于后手来说都是必败态。所以先手必胜。
所以,当n为Fibonacci数时,先手必败,否则先手必胜。
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