hrbust 1864人类希望——kokoⅠ【数学+快速幂】

人类希望——kokoⅠ

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Description

在HUC星域CS星系，无数的战舰碎片静静的漂浮着，诉说着无言的悲壮。。。。。。这注定是人类历史最悲壮的一天，人类最强的舰队AC舰队在与异形的交战中全军覆没。。。。。。现在，异形大军正全速冲向地球，联邦政府打算做最后一搏，用尽人类的所有资源在打造一支究极无敌炒鸡银河舰队，而你，作为人类最强的科学家koko，需要优化战舰的人工智能系统。 #include <stdio.h> int cases, caseno; int n, K, MOD; int A[1001]; int main() {     scanf("%d", &cases);     while( cases-- ) {         scanf("%d %d %d", &n, &K, &MOD);         int i, i1, i2, i3, ... , iK;         for( i = 0; i < n; i++ ) scanf("%d", &A[i]);         int res = 0;         for( i1 = 0; i1 < n; i1++ ) {             for( i2 = 0; i2 < n; i2++ ) {                 for( i3 = 0; i3 < n; i3++ ) {                     ...                     for( iK = 0; iK < n; iK++ ) {                         res = ( res + A[i1] + A[i2] + ... + A[iK] ) % MOD;                     }                     ...                 }             }         }         printf("Case %d: %d\n", ++caseno, res);     }     return 0; } 你的任务是，编写一段程序，快速计算这段程序的结果，少年，人类的未来在你的肩上啊！

Input

输入以T开头，代表有T组样例 每组样例的第一行有三个数，n(1 ≤ n ≤ 1000), K(1<=K<2^31), MOD(1<=MOD<=35000) 下一行有n个数Ai(Ai保证在32位无符号整数范围内)

Output

对于每组样例输出程序的运行结果

Sample Input

2 3 1 35000 1 2 3 2 3 35000 1 2

Sample Output

Case 1: 6 Case 2: 36

Author

小伙伴们@哈商大

题意：给出一个长度为n的序列P，进行一个操作：对K个序列P每次取出一个数，然后对取出的数求和，重复n^k次操作并求和，最后对总和取模

思路：当n和k都很大的时候，循环次数会变得很大很大，耗时就不用说了，所以需要寻求"捷径"

先对样例2进行分析 n=2 k=3

序列：1 2

根据取出的数我们可以得到2^3（n^k）个序列

1 1 1

1 1 2

1 2 1

1 2 2

2 1 1

2 1 2

2 2 1

2 2 2

这里的总和为36 结果就是36%35000=36

其实多试几组数据，我们不难发现这n^k个序列中的每个数字的出现次数都是相等的（数字相同也可以独立开，如1 1 2里的两个1可以看成是不同的）

那么对于一个序列A1 A2 A3......An（长度为n）组合出的k个序列

每个数字Ai（1<=i<=n）的出现次数为（n^k）*k/n即（n^(k-1)）*k

所以这k个序列的数的总和为A1*（n^(k-1)）*k+A2*（n^(k-1)）*k+A3*（n^(k-1)）*k+......+An*（n^(k-1)）*k

合并后为（A1+A2+A3+......+An）*（n^(k-1)）*k

由于n^k范围过大，我们对其进行快速幂取模即可

#include<cstdio>
int main()
{
int n,mod,t;
long long k,a;
scanf("%d",&t);
for (int p=1; p<=t; p++)
{
scanf("%d%lld%d",&n,&k,&mod);
int sum=0;
for (int i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%lld",&a);
sum=(sum+a%mod)%mod;
}
int ans=1;
long long tmp=k-1;
while(tmp>0)
{
if (tmp&1)
ans=(ans*n)%mod;
tmp>>=1;
n=((n%mod)*(n%mod))%mod;
}
printf("Case %d: %d",p,(sum*ans*(k%mod))%mod);
}
}